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Hallo
Eine Frage in unserer Matheklausur war so: Wo liegen die waagerechten und senkrechten Tangenten bei der Funktion: (irgendwie komme ich mit dem Formeleditor nicht klar ) Wurzelanfang cos(2Pfi)wurzelende.
Im Papula Tabellenbuch auf Seite 126 ist die Formel. In der Klausur war nur a weggelassen.
>Ich müsste ja die 1te und 2te Ableitung bilden. Die erste Ableitung liefert die waagerechten Tangenten, die 2. Ableitung die senkrechten Tangenten. Nur wie geht sowas ?
Bis bald
Marcus
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Hallo Marcus!
> Eine Frage in unserer Matheklausur war so: Wo liegen die
> waagerechten und senkrechten Tangenten bei der Funktion:
> (irgendwie komme ich mit dem Formeleditor nicht klar )
> Wurzelanfang cos(2Pfi)wurzelende.
> Im Papula Tabellenbuch auf Seite 126 ist die Formel. In
> der Klausur war nur a weggelassen.
> >Ich müsste ja die 1te und 2te Ableitung bilden. Die erste
> Ableitung liefert die waagerechten Tangenten, die 2.
> Ableitung die senkrechten Tangenten. Nur wie geht sowas ?
Das heißt, du möchtest wissen, wie man die Ableitungen von [mm] \wurzel{\cos{2\pi i}} [/mm] berechnet? Oder meintest du [mm] \varphi? [/mm] Jedenfalls kann ich mit 2Pfi nichts anfangen. Und mit dem Formeleditor ist das gar nicht so schwer, du musst nur oft genug die geschweiften Klammern [mm] \{\; und\; \} [/mm] verwenden. Klick doch einfach mal auf meine Formel, dann siehst du, wie das geht.
Die Ableitungen müsstest du wohl mit der Kettenregel berechnen können, siehe auch  Ableitungsregel.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo
Die Formel lautet : [mm] \wurzel{cos(2 \phi})
[/mm]
Ich brauche die waagerechten und senkrechten Tangenten.
Wie leite ich ab ?
Bis bald
Marcus
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Hi, Marcus,
wenn der Funktionsterm [mm] f(\phi) [/mm] = [mm] \wurzel{cos(2\phi)} [/mm] ist, dann lautet die Ableitung:
[mm] f'(\phi) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2\wurzel{cos(2\phi)}}*2*sin(2\phi) [/mm] = [mm] \bruch{-sin(2\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}
[/mm]
(Definitionsmenge berücksichtigen!)
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Hallo Zwergilein
Wie sieht denn die 2. Ableitung aus, und vorallem wie bekomme ich die Nullstellen ?
Entschuldige, aber meine Grundbildung in Mathe ist sehr gering.
Bis bald
Marcus
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Hallo.
Wenn es sich hier um eine Parametrisierung der Lemniskate handelt, so ist diese in Polarkoordinaten.
Das Ding sieht also so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und NICHT so:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und welche tangenten sind nun genau zu bestimmen?
Davon hängt es ab, ob es einfach wird oder eher nicht.
Gruß,
Christian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Di 26.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Und welche tangenten sind nun genau zu bestimmen?
Die waagerechten und senkrechten - also die, bei deren Ableitung entweder die y-Koordinate oder die x-Koordinate verschwindet, also muss man von Polarkoordinaten zu xy-Koordinaten übergehn, und beide Koordinaten kann man dann, da nur von [m]\phi[/m] abhängig, getrennt ableiten, und schaun wo sie Null werden.
Das ganz gehöhrt eher ins Uni-Abalysis-Forum als hierher. Ich verschiebe das bald - jetzt lass ich es noch hier, damit man es noch wiederfindet.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Di 26.07.2005 | | Autor: | Marcusgoe |
Hallo Christian, genau so sieht die Lemniskate aus, wie eine umgedrehte 8.
Hallo Secki, ja es sollen die waagerechten und senkrechten Tangenten gefunden werden, uns wurde erzählt, wir würden auf der FH nicht mehr Mathe machen wie ein Mathe LK.
Wie leite ich denn jetzt die Funktion ab ?
Bis bald
Marcus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Di 26.07.2005 | | Autor: | SEcki |
Ichj habe diesen Artikel aus dme Schulforum hierher verschoben - es passt thematisch einfach besser.
SEcki
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Hallo
Kann mir denn keiner Helfen ?
Bis bald
Marcus
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Hallo.
Also:
Die Parametrisierung der Lemniskate in Polarkoordinaten ist
[mm] $r(\varphi):= \sqrt{\cos{2\varphi}}$.
[/mm]
Nun müssen wir das, um anständig arbeiten zu können, in kartesische Koordinaten umformen:
Dabei gilt:
[mm] $x(\varphi)=r(\varphi)*\cos{\varphi}=\sqrt{\cos{2\varphi}}\cos{\varphi}$
[/mm]
[mm] $y(\varphi)=r(\varphi)*\sin{\varphi}=\sqrt{\cos{2\varphi}}\sin{\varphi}$.
[/mm]
Insgesamt lautet unsere Parametrisierung der Lemniskate (ich nenn sie jetzt aus Gewohnheit mal [mm] \gamma) [/mm] dann so:
[mm] $\gamma:[0,\pi] \to \IR^2: \gamma(t):=\sqrt{\cos{2t}} \vektor{\cos t \\ \sin t}$.
[/mm]
Jetzt leiten wir das ganze nach t ab:
[mm] $\gamma'(t):= \vektor{-\sin t\sqrt{\cos{2t}}-\frac{\cos t*\sin{2t}}{\sqrt{\cos{2t}}} \\ \cos t\sqrt{\cos{2t}}-\frac{\sin t*\sin{2t}}{\sqrt{\cos{2t}}}}$
[/mm]
Hier mußt Du nur noch sehen, bei welchen Werten für t Du in einer Komponente eine 0 bekommst, dort sind dann die waagrechten bzw. senkrechten Tangenten zu finden.
Gruß,
Christian
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Hallo Christian
Vielen Dank für deine Lösung. Jetzt wird es aber kompliziert, brauche noch ein wenig erklärung zu der Lösung.
1. Koordinatentransformation
Habe im Tabellenbuch nachgeschaut. Dort steht x=r*cos [mm] \phi [/mm] y=r*sin [mm] \phi [/mm]
Wenn ich also hinter den Ausdruck abwechselnd diese 2 Variationen schreibe, bekomme ich dann die Kartesischen Koordinaten von x und y ?
Ich frage hier mal Stück für Stück, das ist sicher besser als alles aufeinmal.
Bis bald
Marcus
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Hallo Loddar
Hoffe ich bin nicht lästig. Ich muss doch für x und y die 1. und 2. Ableitung bilden oder ? An der ersten sehe ich die waagerechten Tangenten und an der 2. die senkrechten Tangenten ?
Bis bald
Marcus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marcus!
> Ich muss doch für x und y die 1. und 2. Ableitung bilden oder ?
> An der ersten sehe ich die waagerechten Tangenten und an der
> 2. die senkrechten Tangenten ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du brauchst jeweils nur die 1. Ableitung.
Die waagerechten Tangenten erhältst Du durch [mm] $y'(\varphi) [/mm] \ = \ 0$ ,
die senkrechten Tangenten durch [mm] $x'(\varphi) [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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Sorry, schon wieder ich
[mm] x=\wurzel{cos(2 \phi )}* [/mm] cos phi
Wie leite ich das ab ? Erst den Ausdruck der Wurzel als Quotientenregel und dann alles mit der Kettenregel ?
Bis bald
Marcus
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Hallo!
> Sorry, schon wieder ich
> [mm]x=\wurzel{cos(2 \phi )}*[/mm] cos phi
>
> Wie leite ich das ab ? Erst den Ausdruck der Wurzel als
> Quotientenregel und dann alles mit der Kettenregel ?
Ich weiß nicht, wie du das mit der Quotientenregel ableiten willst, aber im Prinzip kannst du das folgendermaßen machen:
Du benutzt die Produktregel, wobei du als einen Faktor [mm] \wurzel{\cos(2\phi)} [/mm] nimmst und als anderen [mm] \cos(\phi). [/mm] Da du bei der Produktregel ja auch von beiden Faktoren die Ableitung brauchst, musst du noch die Ableitung von [mm] \wurzel{\cos(2\phi)} [/mm] berechnen, das kannst du mit der Kettenregel machen, wobei [mm] \wurzel{z} [/mm] deine äußere Funktion und [mm] z=\cos(2\phi) [/mm] deine innere Funktion ist. Hierfür brauchst du wiederum die Ableitung von z, aber die müsstest du doch schon direkt hinschreiben können (es ist wieder die Kettenregel).
Verstehst du, wie ich das meine?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hallo Bastiane
Habe gerechnet:
[mm] U=\wurzel{cos(2 \phi )}
[/mm]
[mm] U'=0,5x^{-0,5} [/mm] -sin 2 [mm] \phi
[/mm]
v= cos [mm] \phi
[/mm]
v'= -sin [mm] \phi
[/mm]
Stimmt das denn ?
Bis bald Marcus
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Hallo Loddar
Wieso kommt denn die 2 von der inneren Ableitung ?
In meinem Tabellenbuch steht nichts von einer 2.....
Wenn ich das Vordiplom habe, spende ich dem Forum auch was, hoffentlich falle ich euch nicht zur Last.
Bis bald
Marcus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Do 04.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marcus!
Du möchtest also $y \ = \ [mm] \cos(\red{2}\varphi)$ [/mm] ableiten?
Wir haben hier ja eine verkettete Funktion:
[mm] $\cos(z)$ [/mm] mit $z \ = \ [mm] 2*\varphi$
[/mm]
Wir wissen: [mm] $\left[ \ \cos(z) \ \right]' [/mm] \ = \ - [mm] \sin(z)$ [/mm] sowie $z' \ = \ 2$
Gemäß Kettenregel beim Ableiten gilt hier:
$y' \ = \ - [mm] \sin(z)*2 [/mm] \ = \ [mm] -2*\sin(2\varphi)$
[/mm]
Das musst Du nun auch in Deiner ganzen Ableitung berücksichtigen ...
Nun etwas klarer?
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
