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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Kasperl |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine Verständnisfrage zu einem Beweis des Lemma von Schur:
Es geht darum:
Sei A endlichdimensionale K-Algebra ( K algebraisch abgeschlossener Körper)
und M ein einfacher A-Modul.
Sei [mm] \phi \in [/mm] End(M)
Warum ist [mm] \phi [/mm] K-linear ? (Ich glaub das ist eigentlich offensichtlich, steh aber auf der Leitung)
Und warum ist die existenz eines Eigenwertes [mm] \lambda [/mm] dann klar?
Und ist der Kern von ( [mm] \phi [/mm] - [mm] \lambda [/mm] * id(M)) dann der Eigenraum von [mm] \lambda [/mm] ?
Danke für die Mühe!
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Grüße!
> Es geht darum:
> Sei A endlichdimensionale K-Algebra ( K algebraisch
> abgeschlossener Körper)
> und M ein einfacher A-Modul.
>
> Sei [mm]\phi \in[/mm] End(M)
>
> Warum ist [mm]\phi[/mm] K-linear ? (Ich glaub das ist eigentlich
> offensichtlich, steh aber auf der Leitung)
Naja, wenn [mm] $\phi$ [/mm] ein Endomorphismus von $M$ als $A$-Modul ist, dann bedeutet das doch, dass [mm] $\phi(am) [/mm] = a [mm] \phi(m)$ [/mm] für alle $m [mm] \in [/mm] M$ und $a [mm] \in [/mm] A$ gilt bezüglich der $A$-Modul Struktur von $M$.
$A$ ist aber eine $K$-Algebra, also ein Vektorraum über $K$ mit Multiplikation, insbesondere mit einem Einselement. Also kann ich Elemente [mm] $\lambda \in [/mm] K$ auffassen als Elemente von $A$, vermöge [mm] $\lambda \cdot 1_A \in [/mm] A$. Und da [mm] $\phi$ [/mm] linear bezüglich aller Elemente von $A$ ist demnach aus bezüglich diesen. Und die Additivität ist ohnehin klar.
> Und warum ist die existenz eines Eigenwertes [mm]\lambda[/mm] dann
> klar?
Jordan-Theorie. Man fasst $M$ (wie oben erläutert) als Vektorraum über $K$ auf. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, hat das charakteristische
Polynom der darstellenden Matrix von [mm] $\phi$ [/mm] mindestens eine Nullstelle, also hat [mm] $\phi$ [/mm] mindestens einen Eigenwert. Hier geht ein, dass $M$ endlichdimensional über $K$ ist.
>
> Und ist der Kern von ( [mm]\phi[/mm] - [mm]\lambda[/mm] * id(M)) dann der
> Eigenraum von [mm]\lambda[/mm] ?
Naja, das ist bei Vektorräumen schon so, also auch bei diesem als VR aufgefassten Modul. :)
Alles klar?
Lars
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