Leistung Wechselstrom < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Sa 10.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe grosse Mühe mit der Berechnung der Leistung bei Wechselstrom. Einerseits ist das eine Sache mit den Zeigern, die bei der Leistung ja nicht rotieren (Scheinleistung), andrerseits ist es nochmal ein Fall für sich, wenn man ein nicht-sinusförmiges Signal hat (Fourierreihe).
Das mit den Zeigern ist mir eigentlich klar, ich habe Fragen zu nicht-sinusförmigen Signalen und Leistung.
In einer Musterlösung geht es um die Berechnung von Leistung eines Widerstandes, an welchem eine immer Sinusförmige Spannung anliegt und einen Strom, der nicht-sinusförmig ist, von dem aber die Fourierreihe gegeben ist. (Phasenanschnittsteuerung ist das Thema).
Dabei werden in der Musterlösung zwei wege gezeigt, wie man auf die Wirkleistung kommt:
u(t) = sin(w*t)
i(t) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (a_{n}*cos(n*w*t) [/mm] + [mm] b_{n}*sin(n*w*t))
[/mm]
1.)
Die Leistung bestimmt sich nur aus dem Schwingungsantel des Stromes, der die Gleiche Frequenz als auch Phase wie die Spannung hat.
Das ist nur bei einem Fourrierkoeffizient der Fall. Also muss man einfach die Leistung zwischen dieser Schwingung des Stromes und der Spannung berechnen.
Das leuchtet mir ein, ich weiss, dass das der einzige Fall ist wo wirkleistung auftritt.
2.)
Das gleiche Ergebnis, also auch die Wirkleistung, erhält man, wenn man alle [mm] [\bruch{\wurzel{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}}{\wurzel{2}}]^{2}*R [/mm] von Null bis Unendlich aufsummiert.
Wieso Kommt man von 1.) und 2.) auf das Gleiche Ergebnis? Das ist meiner Intuition dagegen, da ja beim ersten es ist, als ob nur eine Schwingung existiert und die anderen alle nicht.
3.)
"Die mittlere Leistung P eines periodischen Signals s(t) entspricht der Summe der Leistungen der einzelnen Harmonischen". Das habe ich aus dem internet gefunden.
Wenn das so ist, dann müsste aber das Gelten:
[mm] i(t)^{2}*R [/mm]
= [mm] [a_{0} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (a_{n}*cos(n*w*t) [/mm] + [mm] b_{n}*sin(n*w*t))]^{2}*R [/mm]
= [mm] [a_{0}^{2}*R [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} ([a_{n}*cos(n*w*t)]^{2}*R [/mm] + [mm] [b_{n}*sin(n*w*t)]^{2}*R)]
[/mm]
Theorie finde ich leider von meinem Dozentan als auch im Web wenig! Wenn jemandem gerade ein Link einfallen würde, so hätte ich zusätzlich Freude.
Gruss Qsxqsx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Sa 10.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo qsxqsx,
ohne weitere Infos ist es immer etwas schwer, zu diesem Thema etwas zu sagen, aber ich probiere es mal.
Die Darstellung fast beliebiger, jedoch periodischer Strom- oder Spannungsverläufe lässt sich über die Fourierreihe recht gut in den Griff bekommen. Da die Leistung sich aus dem Integral über die Grundperiode des Signals ergibt, treten Anteile wirklich nur bei Vielfachen der Grundfrequenz auf. Dein Beispiel mit der Phasenanschnittssteuerung ist ein gutes Beispiel, um sich sowas mal zu verdeutlichen. Allerdings habe ich hier mit der Definition der Spannung Schwierigkeiten. Ich weiss beim besten Willen nicht, wie man an einem Ohmschen Widerstand es hinbringen soll, einen Spannungsabfall zu erzeugen ohne dass ein Strom fließt. Durch das Ohmsche Gesetz sind nun mal Strom und Spannung proportional zueinander und falls ein Strom nur für einen Bruchteil einer Periode fließt, so gibt es auch nur für diese Zeitspanne einen Spannungsabfall. Sowohl Strom wie auch Spannung lassen sich in eine Fourierreihe entwickeln und die Multiplikation der jeweiligen Koeffizienten, über eine Periode aufintegriert, ergibt die mittlere Leistung. Bei einer sinusförmigen Spannung lässt sich dies über die Effektivspannung bzw. den Effektivstrom ausrechnen. Dies ist genau der Faktor [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm], der in Deinem [mm] I^2 \cdot R [/mm]-Ausdruck auftritt.
Schau bitte noch mal nach der Beteichnung der einzelnen Leistungskomponenten. Bei einer sinusförmigen Größe spricht man von der Wirkleistung als der Leistung, die über die Grundperiode aufintegriert im Bauelement umgesetzt wird. Insofern bezieht sich eine Wirkleistung immer auf die Leistung des Strom- und Spannungsanteils bei der Grundfrequenz. Die Gesamtleistung bezieht dann auch die Leistung der Oberwellen mit ein, man spricht dann aber normalerweise nicht mehr von einer Wirkleistung. Diese höherfrequenten Leistungsanteile können trotzdem von Interesse sein, denke mal bei Verstärkern an den berühmtem Klirrfaktor.
Und damit ist eigentlich auch schon Deine Vorgehensweise bei 3) erklärt, wo Du allerdings keine mittlere Leistung hingeschrieben hast, sondern eine zeitabhängige Momentanleistung.
Durch die Orthogonalität der Fourierbasen bleiben bei einer Integration nur die Terme übrig, die zu den gleichen Fourierbasen gehören. Alle Signalanteile sind sinusförmig und so ergibt sich die mittlere Leistung als
$$ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}(\bruch{a_n^2 + b_n^2}{2}) \cdot [/mm] R [mm] \, [/mm] $$
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Mi 14.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Infinit, ich bins nochmal; )
> ohne weitere Infos ist es immer etwas schwer, zu diesem
> Thema etwas zu sagen, aber ich probiere es mal.
> Die Darstellung fast beliebiger, jedoch periodischer Strom-
> oder Spannungsverläufe lässt sich über die Fourierreihe
> recht gut in den Griff bekommen. Da die Leistung sich aus
> dem Integral über die Grundperiode des Signals ergibt,
> treten Anteile wirklich nur bei Vielfachen der
> Grundfrequenz auf.
Was heisst anteile treten nur bei Vielfachen der Grundfrequenz auf? Eben nicht, oder?
>Dein Beispiel mit der
> Phasenanschnittssteuerung ist ein gutes Beispiel, um sich
> sowas mal zu verdeutlichen. Allerdings habe ich hier mit
> der Definition der Spannung Schwierigkeiten. Ich weiss beim
> besten Willen nicht, wie man an einem Ohmschen Widerstand
> es hinbringen soll, einen Spannungsabfall zu erzeugen ohne
> dass ein Strom fließt. Durch das Ohmsche Gesetz sind nun
> mal Strom und Spannung proportional zueinander und falls
> ein Strom nur für einen Bruchteil einer Periode fließt,
> so gibt es auch nur für diese Zeitspanne einen
> Spannungsabfall.
Da musst du recht haben, sorry für meine Ansicht, ich habe die Aufgabe demfall falsch verstanden mit der Phasenanschnittsteuerung.
Ich habe mir hald gedacht, und irgendwie ist es auch "so halb" in der MuLö gestanden, dass die anliegende Spannung rein Sinusförmig ist und nur der Strom eine andere Form hat - und man deshalb einfach die Grundfrequenzleitstung bestimmen muss für die ganze Leistung.
Ich habs mir hald dazu gedichtet...
>Sowohl Strom wie auch Spannung lassen sich
> in eine Fourierreihe entwickeln und die Multiplikation der
> jeweiligen Koeffizienten, über eine Periode aufintegriert,
> ergibt die mittlere Leistung. Bei einer sinusförmigen
> Spannung lässt sich dies über die Effektivspannung bzw.
> den Effektivstrom ausrechnen. Dies ist genau der Faktor
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm], der in Deinem [mm]I^2 \cdot R [/mm]-Ausdruck
> auftritt.
Ja, aber auch bei nicht-sinusförmigen Grössen kann man die Leistung mittels Effektivspannung bestimmen, einfach nicht mittels dem Faktor [mm] \wurzel{2}. [/mm] Bin grad etwas verwirrt, nur nochmal Frage zur Absicherung.
> Schau bitte noch mal nach der Beteichnung der einzelnen
> Leistungskomponenten. Bei einer sinusförmigen Größe
> spricht man von der Wirkleistung als der Leistung, die
> über die Grundperiode aufintegriert im Bauelement
> umgesetzt wird. Insofern bezieht sich eine Wirkleistung
> immer auf die Leistung des Strom- und Spannungsanteils bei
> der Grundfrequenz.
Wieso nicht auch die anderen Frequenzen? Ich wills nicht kapieren, sry!
>Die Gesamtleistung bezieht dann auch die
> Leistung der Oberwellen mit ein, man spricht dann aber
> normalerweise nicht mehr von einer Wirkleistung.
Aber die einzelnen(!) Oberwellen sind ja auch Sinusförmig, wieso tragen sie nichts zur Wirkleistung bei?
>Diese
> höherfrequenten Leistungsanteile können trotzdem von
> Interesse sein, denke mal bei Verstärkern an den
> berühmtem Klirrfaktor.
> Und damit ist eigentlich auch schon Deine Vorgehensweise
> bei 3) erklärt, wo Du allerdings keine mittlere Leistung
> hingeschrieben hast, sondern eine zeitabhängige
> Momentanleistung.
Also nochmal konkret:
MITTLERE LEISTUNG:
Summe der Leistungen der einzelnen Harmonischen
WIRKLEISTUNG:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}}{\wurzel{2}}]^{2}\cdot{}R
[/mm]
oder
Die Leistung bestimmt sich nur aus dem Schwingungsantel des Stromes, der die Gleiche Frequenz als auch Phase wie die Spannung hat.
Was versteht man den nun unter mittlerer Leistung? Die mittlere Wirkleistung, die mittlere Scheinleistung oder beide zusammen gemittelt?
Und was zählt als eine Harmonische:
Ist eine Harmonische:
" [mm] a_{n}*cos(n*w*t) [/mm] + [mm] b_{n}*sin(n*w*t) [/mm] " ?
oder nur " [mm] a_{n}*cos(n*w*t)" [/mm] oder " [mm] b_{n}*sin(n*w*t) [/mm] " ?
> Durch die Orthogonalität der Fourierbasen bleiben bei
> einer Integration nur die Terme übrig, die zu den gleichen
> Fourierbasen gehören. Alle Signalanteile sind sinusförmig
> und so ergibt sich die mittlere Leistung als
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}(\bruch{a_n^2 + b_n^2}{2}) \cdot R \,[/mm]
>
> Viele Grüße,
> Infinit
Ich schreibe nochmals jetzt in einer Mitteilung ein paar Dinge für die Übersicht zur Leistung.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Mi 14.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Leistung Grundsätzlich:
p(t) = u(t)*i(t)
p(w*t) = Re(U*konj(I) + [mm] U*I*e^{j*2*w*t})
[/mm]
Aus oberem ist ein Zeitabhängiger als auch Zeitunabhängiger Anteil zu erkennen.
Zeigerdarstellung:
|S| = U*I = [mm] U_{eff}*I_{eff}
[/mm]
P = [mm] U*I*cos(\phi)
[/mm]
Q = [mm] U*I*sin(\phi)
[/mm]
Scheinleistung S
[mm] \underline{S} [/mm] = [mm] \underline{U}*\underline{I}* [/mm] = P + j*Q
[mm] |\underline{S}| [/mm] = [mm] \wurzel{P^{2} + Q^{2}}
[/mm]
[mm] \underline{S}=\bruch{1}{2}*konj(\underline{i})\underline{u} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\underline{Z}*|i|^{2} [/mm] = [mm] \underline{Z}*I_{eff}^{2}
[/mm]
,wobei P = Wirkleistung, Q = Blindleistung, u = Zeigerlänge u(t), i = Zeigerlänge i(t)
Die Scheinleistung S kann nicht als rotierender Zeiger betrachtet werden.
Die Blindleistung kann als rotierender Zeiger betrachtet werden (Das Integral über eine Periode ist Null...also Blindleistung)
Die Wirkleistung hingegen, die kann, wie die Scheinleistung, auch nicht als rotierender Zeiger dargestellt werden. Sie ist eine nach oben verschobene Sinus-Funktion (Das Integral über eine Periode ist nicht Null...also Wirkleistung).
Die Schwingung der Blindleistung + die Schwingung der Wirkleistung ergeben die Momentanleistung.
Beispiel: Wirkleistung Ohmscher Widerstand
p(t) = u(t)*i(t) = [mm] u*i*cos(\phi)^{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{u*i}{2}*(cos(2*\phi) [/mm] + 1)
= [mm] U_{eff}*I_{eff}*(cos(2*\phi)+1)
[/mm]
Ziemlich verwirrend, vorallem wenn es dann noch um nicht sinusförmige Signale gehen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo qsxqsx,
Meine Kommentare und Antworten habe ich der Einfachheit halber in Deinen Thread reingeschrieben.
Viele Grüße,
Infinit
> Hallo Infinit, ich bins nochmal; )
>
> > ohne weitere Infos ist es immer etwas schwer, zu diesem
> > Thema etwas zu sagen, aber ich probiere es mal.
> > Die Darstellung fast beliebiger, jedoch periodischer Strom-
> > oder Spannungsverläufe lässt sich über die Fourierreihe
> > recht gut in den Griff bekommen. Da die Leistung sich aus
> > dem Integral über die Grundperiode des Signals ergibt,
> > treten Anteile wirklich nur bei Vielfachen der
> > Grundfrequenz auf.
>
> Was heisst anteile treten nur bei Vielfachen der
> Grundfrequenz auf? Eben nicht, oder?
Bei ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz, denn nur diese treten laut Fourierreihenentwicklung auch auf. Bei den Sinus- und Kosinustermen hast Du immer als Argument [mm] n \omega [/mm] drin stehen.
> >Dein Beispiel mit der
> > Phasenanschnittssteuerung ist ein gutes Beispiel, um sich
> > sowas mal zu verdeutlichen. Allerdings habe ich hier mit
> > der Definition der Spannung Schwierigkeiten. Ich weiss beim
> > besten Willen nicht, wie man an einem Ohmschen Widerstand
> > es hinbringen soll, einen Spannungsabfall zu erzeugen ohne
> > dass ein Strom fließt. Durch das Ohmsche Gesetz sind nun
> > mal Strom und Spannung proportional zueinander und falls
> > ein Strom nur für einen Bruchteil einer Periode fließt,
> > so gibt es auch nur für diese Zeitspanne einen
> > Spannungsabfall.
>
> Da musst du recht haben, sorry für meine Ansicht, ich habe
> die Aufgabe demfall falsch verstanden mit der
> Phasenanschnittsteuerung.
> Ich habe mir hald gedacht, und irgendwie ist es auch "so
> halb" in der MuLö gestanden, dass die anliegende Spannung
> rein Sinusförmig ist und nur der Strom eine andere Form
> hat - und man deshalb einfach die Grundfrequenzleitstung
> bestimmen muss für die ganze Leistung.
>
> Ich habs mir hald dazu gedichtet...
Das kann schon mal passieren, eventuell war die Aufgabenstellung auch nicht so eindeutig wie sie sein sollte.
>
> >Sowohl Strom wie auch Spannung lassen sich
> > in eine Fourierreihe entwickeln und die Multiplikation der
> > jeweiligen Koeffizienten, über eine Periode aufintegriert,
> > ergibt die mittlere Leistung. Bei einer sinusförmigen
> > Spannung lässt sich dies über die Effektivspannung bzw.
> > den Effektivstrom ausrechnen. Dies ist genau der Faktor
> > [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm], der in Deinem [mm]I^2 \cdot R [/mm]-Ausdruck
> > auftritt.
>
> Ja, aber auch bei nicht-sinusförmigen Grössen kann man
> die Leistung mittels Effektivspannung bestimmen, einfach
> nicht mittels dem Faktor [mm]\wurzel{2}.[/mm] Bin grad etwas
> verwirrt, nur nochmal Frage zur Absicherung.
Das geht, das ist richtig, aber das Schöne bei der Fourierreihenentwicklung ist ja gerade, dass man die Kurvenform durch die Überlagerung sinusförmiger Grundformen darstellen kann. In Diesem Fall kann man dann getrost mit dem Faktor [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] arbeiten.
>
> > Schau bitte noch mal nach der Beteichnung der einzelnen
> > Leistungskomponenten. Bei einer sinusförmigen Größe
> > spricht man von der Wirkleistung als der Leistung, die
> > über die Grundperiode aufintegriert im Bauelement
> > umgesetzt wird. Insofern bezieht sich eine Wirkleistung
> > immer auf die Leistung des Strom- und Spannungsanteils bei
> > der Grundfrequenz.
>
> Wieso nicht auch die anderen Frequenzen? Ich wills nicht
> kapieren, sry!
Das ist eine reine Definitionssache. Schau aber bitte dazu noch mal in Deinen Unterlagen nach.
> >Die Gesamtleistung bezieht dann auch die
> > Leistung der Oberwellen mit ein, man spricht dann aber
> > normalerweise nicht mehr von einer Wirkleistung.
>
> Aber die einzelnen(!) Oberwellen sind ja auch Sinusförmig,
> wieso tragen sie nichts zur Wirkleistung bei?
Wie gesagt, Definitionssache.
> >Diese
> > höherfrequenten Leistungsanteile können trotzdem von
> > Interesse sein, denke mal bei Verstärkern an den
> > berühmtem Klirrfaktor.
> > Und damit ist eigentlich auch schon Deine Vorgehensweise
> > bei 3) erklärt, wo Du allerdings keine mittlere Leistung
> > hingeschrieben hast, sondern eine zeitabhängige
> > Momentanleistung.
>
> Also nochmal konkret:
>
> MITTLERE LEISTUNG:
> Summe der Leistungen der einzelnen Harmonischen
>
> WIRKLEISTUNG:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}}{\wurzel{2}}]^{2}\cdot{}R[/mm]
>
> oder
Nein, nach der Definition ist es nur die Grundschwingung, die hier eingeht, aber wie gesagt, irgendwo muss eine Definition bei Dir ja mal aufgetaucht sein.
> Die Leistung bestimmt sich nur aus dem Schwingungsantel des
> Stromes, der die Gleiche Frequenz als auch Phase wie die
> Spannung hat.
>
Gleiche Frequenz ja, aber er dürfte auch phasenverschoben sein.
> Was versteht man den nun unter mittlerer Leistung? Die
> mittlere Wirkleistung, die mittlere Scheinleistung oder
> beide zusammen gemittelt?
Es ist die mittlere Leistung über die Signalform, im Allgemeinfall demzufolge die Scheinleistung.
> Und was zählt als eine Harmonische:
>
> Ist eine Harmonische:
>
> " [mm]a_{n}*cos(n*w*t)[/mm] + [mm]b_{n}*sin(n*w*t)[/mm] " ?
>
> oder nur " [mm]a_{n}*cos(n*w*t)"[/mm] oder " [mm]b_{n}*sin(n*w*t)[/mm] " ?
>
Wie bereits oben gesagt, Du musst auch Phasenverschiebungen zulassen, also immer Sinus- und Kosinuskomponente zusammenbetrachten.
> > Durch die Orthogonalität der Fourierbasen bleiben bei
> > einer Integration nur die Terme übrig, die zu den gleichen
> > Fourierbasen gehören. Alle Signalanteile sind sinusförmig
> > und so ergibt sich die mittlere Leistung als
> > [mm]\sum_{n=0}^{\infty}(\bruch{a_n^2 + b_n^2}{2}) \cdot R \,[/mm]
>
> >
> > Viele Grüße,
> > Infinit
>
> Ich schreibe nochmals jetzt in einer Mitteilung ein paar
> Dinge für die Übersicht zur Leistung.
>
> Gruss
>
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