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Hallo, ich muss eine Aufgabe lösen und habe alles so umgeformt, bis das herausgekommen ist:
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty} (-1)^n [/mm] * (1/n)
Das ist ja eine alternierende Reihe, wenn ich diese Reihe auf konvergenz bzw auf absolute Konvergenz überprüfen will... kann ich da das Leibnizkriterium anwenden?
Konvergiert die Reihe überhaupt? Denn [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} [/mm] (1/n) (harmonische Reihe) divergiert ja, divergiert dann [mm] \summe_{i=1}^{ \infty} (-1)^n [/mm] * (1/n) auch? Sorry, ich weiß es klingt etwas verwirrt, aber ich bin ja auch ziemlich verwirrt im Moment...
Danke,
Liebe Grüße L.S.
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Zuerstmal: wahrscheinlich hast dich ein wenig vertippt; die Reihe sollte wohl heißen [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{1}{n}[/mm]
Wir wollen ja über n summieren, nehme ich an.
Naja, wie auch immer...
Das Leibnizkriterium sagt dir: [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}(-1)^n*a_n[/mm] konvergiert dann, wenn [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist, was hier ja der Fall ist. Also konvergiert die Reihe.
Wobei sie nicht konvergieren würde, wenn der alternierende Anteil [mm](-1)^n[/mm] nicht dastehen würde, da hast du recht.
Kleiner Ausblick: wenn du die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}(-1)^n*\bruch{1}{n^2}[/mm] untersuchen müsstest, dann wäre sie schon allein deswegen konvergent, weil [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{1}{n^2}[/mm] konvergiert; da bräuchten wir den Leibniz gar nicht. Und solche Reihen [mm]a_n[/mm], bei denen gilt: [mm]\summe_{n=1}^{ \infty}|a_n|[/mm] konvergiert, heißen absolut konvergent.
Klar geworden?
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