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| Aufgabe | Beweisen Sie die Leibniz'sche Sektorformel:
Es sei 0 [mm] \le\alpha<\beta\le2\pi [/mm] und f : [mm] [\alpha,\beta] \to [0,\infty) [/mm] stetig. Dann gilt für den in Polarkoordinaten von den Strahlen [mm] \phi [/mm] = [mm] \alpha, \phi [/mm] = [mm] \beta [/mm] und der Funktion r = [mm] f(\phi) [/mm] begrenzten Sektor [mm] S_{\alpha,\beta,f} [/mm] :
[mm] V(S_{\alpha,\beta,f} [/mm] ) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{\alpha}^{\beta}{(f(x))^{2} d\phi} [/mm] . |
Hallo!
Ich habe jetzt schon eine ganze Weile gesucht, aber bis jetzt noch keinen mir hilfreichen Ansatz gefunden.
Hat jemand evtl einen netten Ansatz ?
Ich wäre dankbar für jegliche Hilfe!
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Mo 25.01.2010 | | Autor: | chrisno |
Da soll doch [mm] $f^2(\phi)$ [/mm] unter dem Integral stehen?
Meine Frage ist, wie mathematisch der Beweis sein soll. Auf Physiker Niveau geht es so:
Betrachte einen Sektor mit dem Öffnungswinkel [mm] $d\phi$.
[/mm]
Ist er schmal genug, dann kannst Du [mm] $f(\phi)$ [/mm] konstant annehmen. Damit hat der Sektor die Fläche eines entsprechenden Kreissegments. Der Kreis hat die Fläche $A = [mm] \pi \cdot r^2$.
[/mm]
Der Sektor hat dann die Fläche $dA = [mm] \pi \cdot r^2 \cdot \bruch{d\phi}{2\pi} [/mm] = [mm] f^2(\phi)\bruch{1}{2}d\phi$.
[/mm]
Die gesuchte Fläche wird durch Aufsammeln aller $dA$ also dem Intgral erhalten.
Nur ist das kein Beweis. Das kann aber eine Idee liefern wie der Beweis geführt werden kann.
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ja richtig [mm] f^{2}(\phi) [/mm] danke !!!
naja, da ich mathe studiere, sollte der beweis schon 100% mathematisch sein ;)
deswegen habe ich ja auch noch keinen gefunden der genügt bzw verständlich genug für mich ist ^^"
Ich hoffe auf weitere hilfreiche antworten :)
Danke im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Di 26.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Chrisnos Beweis ist doch fast schon der exakte. das infinitesimale Dreieck hat die Grundseite [mm] r*d\Phi [/mm] und die Höhe r also die Fläche [mm] 1/2*r*r*d\phi
[/mm]
das integriert gibt die Gesamtflaeche.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 28.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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