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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Mi 30.11.2011 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Die 3-reihige Determinante
detA = det [mm] \pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} }
[/mm]
lässt sich als Summe der 6 Ausdrücke
sign(o) * [mm] a_{o(1),1} [/mm] * [mm] a_{o(2),2} [/mm] * [mm] a_{o(3),3}
[/mm]
für o [mm] \in S_{3} [/mm] schreiben. Mit anderen Worten gilt
detA = [mm] \summe_{o \in S_{3} } [/mm] (sign(o) * [mm] a_{o(1),1} [/mm] * [mm] a_{o(2),2} [/mm] * [mm] a_{o(3),3})
[/mm]
Man veri ziere dies! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich beiss mir gerade an einer Übungsaufgabe die Zähne aus.
Ich hab zwar ne Ahnung, dass das ganze so funktioniert, aber wie ich das genau beweisen soll, weiss ich leider nicht.
Da o [mm] \in S_{3} [/mm] gibt es ja insgesamt 6 verschiedene Möglichkeiten für Permutationen in [mm] S_{3}. [/mm]
Und wenn ich die Summe für die 6 Möglichkeiten durchgeh, komm ich auch auf die richtige Determinante.
Aber wie gesagt, wie ich das ganze Beweisen soll ? Ich weiss es nicht.
Hoffe ihr könnt mir helfen
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> Die 3-reihige Determinante
> detA = det [mm]\pmat{ a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} }[/mm]
>
> lässt sich als Summe der 6 Ausdrücke
> sign(o) * [mm]a_{o(1),1}[/mm] * [mm]a_{o(2),2}[/mm] * [mm]a_{o(3),3}[/mm]
> für o [mm]\in S_{3}[/mm] schreiben. Mit anderen Worten gilt
> detA = [mm]\summe_{o \in S_{3} }[/mm] (sign(o) * [mm]a_{o(1),1}[/mm] *
> [mm]a_{o(2),2}[/mm] * [mm]a_{o(3),3})[/mm]
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> Man veri ziere dies!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich beiss mir gerade an einer Übungsaufgabe die Zähne
> aus.
> Ich hab zwar ne Ahnung, dass das ganze so funktioniert,
> aber wie ich das genau beweisen soll, weiss ich leider
> nicht.
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> Da o [mm]\in S_{3}[/mm] gibt es ja insgesamt 6 verschiedene
> Möglichkeiten für Permutationen in [mm]S_{3}.[/mm]
> Und wenn ich die Summe für die 6 Möglichkeiten durchgeh,
> komm ich auch auf die richtige Determinante.
> Aber wie gesagt, wie ich das ganze Beweisen soll ? Ich
> weiss es nicht.
> Hoffe ihr könnt mir helfen
Hallo s1mn,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die zu beweisende Formel ist dasselbe wie die Regel von
Sarrus. Kennst du die ?
Dann heißt es einfach nachzurechnen, dass deine Formel
dasselbe liefert. Wissen musst du dazu nur noch, wie das
Signum einer Permutation definiert ist.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 30.11.2011 | | Autor: | s1mn |
d.h. zuerst berechne ich die Determinante mit der Regel von Sarrus (war mir zwar bekannt, aber nicht unter diesem Namen^^).
Und dann ?
Dann zähl ich die 6 versch. Permutationen auf und setz dann jeweils ein ?
Wenns so ist, dann gibts viel Schreibarbeit. Yippie
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> d.h. zuerst berechne ich die Determinante mit der Regel von
> Sarrus (war mir zwar bekannt, aber nicht unter diesem
> Namen^^).
> Und dann ?
> Dann zähl ich die 6 versch. Permutationen auf und setz
> dann jeweils ein ?
>
> Wenns so ist, dann gibts viel Schreibarbeit. Yippie
Ich weiß natürlich nicht, auf was du dich bei dem
Nachweis stützen darfst. Halte dich möglichst an
die Definition der Determinante, die dir zur Verfügung
steht.
Damit es mit dem Schreiben nicht allzu wild wird,
empfehle ich dir, für die Elemente der Matrix wenigstens
zuerst nicht doppelt indizierte Größen, sondern einfach
die Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h,i zu verwenden.
Nachher kannst du alles leicht noch in die Index-
schreibweise umwandeln.
LG Al-Chw.
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