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| Aufgabe | | [mm] $\det(M) [/mm] = [mm] \summe_{\sigma\epsilon S_n}sign(\sigma)\cdot \produkt_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),i}$ [/mm] |
Hallo zusammen,
kann mir jemand möglichst verständlich die Leibniz-Formel erklären? Oder kennt jemand eine Webisite, auf der es gut erklärt ist?
Hab angefangen, folgenden Artikel zu lesen: ![[]](/images/popup.gif) Klick mich!
Aber spätestens bei dem Satz "Das [mm] n^n [/mm] ist hier auch kein Zufall [mm] \(wer [/mm] hätte es gedacht), denn wir können jeden Summanden mit einer Abbildung f von I := {1,...,n} nach I identifizieren, und von diesen gibt es gerade [mm] n^n [/mm] Stück."
steige ich aus.
Was bedeutet er?
Ich danke euch.
VLG miniscout ![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]")
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Hallo,
ich verstehe diese Formel am besten, wenn ich es mir an der [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix klar mache: [mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
[mm] \det(A) [/mm] = [mm] \summe_{\sigma\epsilon S_n}sign(\sigma)\cdot \produkt_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),i}
[/mm]
Ich muss nun also über alle Permutationen [mm] \sigma [/mm] addieren. Betrachten wir zunächst [mm] \sigma(i)=i [/mm] (i=1,2). Somit wird also nichts permutiert und daher ist das signum der Permutation +1. Der erste Summand lautet daher:
$+1 * [mm] \produkt_{i=1}^{2} a_{\sigma(i),i} [/mm] = [mm] a_{11}*a_{22}$
[/mm]
Nun gibt es noch eine zweite Permutation, nämlich die 1 und 2 vertauscht, also [mm] \sigma(1)=2 [/mm] und [mm] \sigma(2)=1. [/mm] Da es eine Vertauschung ist, ist das signum -1. Also zweite Summand:
$-1 * [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),i} [/mm] = -1* [mm] a_{21} [/mm] * [mm] a_{12}$
[/mm]
Damit ergibt sich insgesamt der bekannte Ausdruck:
[mm] det(A)=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{21}
[/mm]
Ich hoffe an diesem konkreten Beispiel ist es etwas klarer geworden. Nun kannst du ja nochmal über den Fall der [mm] n\times [/mm] n Matrizen nachdenken.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mi 18.03.2009 | | Autor: | miniscout |
Danke! Das hilft schonmal!
Gruß miniscout
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