Leibnitz-Kriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 So 26.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo,
Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme!
Ich soll zeigen das die Reihe
[mm] \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n} + \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{\sqrt n }}} [/mm]
divergiert!
Normalerweise sieht das nach Leibnitz-Kriterium aus. Die nächste Frage ist aber, warum man hier das Leibnitz-Kriterium nicht anwenden kann???
Ich habe im Moment keine Ahnung wie ich da rangehen soll!
Vielen Dank für eure Antworten!
Viele Grüße
Fabian
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> Hallo,
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> Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme!
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> Ich soll zeigen das die Reihe
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> [mm]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n} + \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{\sqrt n }}}[/mm]
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> divergiert!
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> Normalerweise sieht das nach Leibnitz-Kriterium aus. Die
> nächste Frage ist aber, warum man hier das
> Leibnitz-Kriterium nicht anwenden kann???
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> Ich habe im Moment keine Ahnung wie ich da rangehen soll!
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> Vielen Dank für eure Antworten!
>
> Viele Grüße
>
> Fabian
Hallo Fabian!
Es gilt meines Erachtens:
[mm]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n} + \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{\sqrt n }}} \ge \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}-\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm] ...
und für genügend großes n:
[mm] $\ge \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}-\frac{1}{2n} \to \infty$.
[/mm]
Gruß,
Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 So 26.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi Fabian!
andere Idee:
[mm]\sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{1}{n} + \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{\sqrt n }})}[/mm]
[mm] = 1 -1 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{1}{2n} + \frac{(-1)^{2n}}{\sqrt {2n}} + \frac{1}{2n+1} + \frac{(-1)^{2n+1}}{\sqrt {2n+1}})}[/mm]
[mm] = \sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1}
+ \underbrace{\frac{1}{\sqrt {2n}} - \frac{1}{\sqrt {2n+1}}}_{> 0} )}[/mm]
[mm] > \sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} )}[/mm]
[mm] = \sum\limits_{n = 2}^\infty {(\frac{1}{n} )}[/mm]
und diese Reihe ist ja bekanntlich divergent
somit ist [mm]\sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{1}{n} + \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{\sqrt n }})}[/mm] auch divergent.
sollte hoffentlich reichen.
lG
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 26.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo ihr beiden!
Vielen Dank für die beiden Antworten! Haben mir echt geholfen!
Viele Grüße
Fabian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 26.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fabian!
Geht es nicht noch einfacher?
[mm]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[\frac{1}{n} + \frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{\sqrt n }}\right]} \ = \ \underbrace{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}}}_{divergent} \ + \ \underbrace{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n }}{{\sqrt n }}}}_{konvergent} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \text{divergent!}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 So 26.06.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Loddar!
So geht es natürlich auch! An diese kleinen Sätze habe ich ja gar nicht mehr gedacht!!!
Viele Grüße
Fabain
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