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| Aufgabe | Beweisen sie die Legendresche Verdopplungsformel für die Gammafunktion:
Für alle x > 0:
(hier steht G(x) für die Gammafunktion)
G(x) = [mm] \bruch{2^{x-1}}{G(\bruch{1}{2})} [/mm] * [mm] G(\bruch{x}{2}) [/mm] * [mm] G(\bruch{x+1}{2}) [/mm] |
Hallo zusammen,
ich sag erstmal wie ich die Sache angegangen bin.
Ich habe zur Verfügung: Satz von Bohr, die Integraldarstellung der Gammafunktion. Natürlich G(x+1) = x* G(x) für alle x>0. Außerdem, dass sie logarithmisch konvex ist und G(1/2) = [mm] \wurzel{\pi}. [/mm] Und die Grenzwert Darstellung der Gammafunktion.
Ich habe versucht mit dem Satz von Bohr weiter zu kommen.
Da hab ich die rechte Seite betrachtet um zu zeigen,dass sie die Gammafunktion ist.
Die ersten beiden Identitäten ( F(1) =1 und F(x+1)= x*F(x) ) habe ich hingekriegt.
Nun fehlt mir noch dass F logarithmisch konvex ist. Ich gebe euch mal unsere Definition von logarithmisch konvex:
Ist I ein Intervall, so heißt eine Funktion f:I-> [mm] \IR [/mm] >0 logarithmisch konvex, wenn ln [mm] \circ [/mm] f: I-> R konves ist.
Dies ist genau dann der Fall, wenn:
[mm] f(x_{\lambda}) \le f(x_{0})^{1-\lambda}*f(x_{1})^{\lambda}
[/mm]
für [mm] x_{\lambda}=(1-\lambda)*x_{0}+\lambda*x_{1}, [/mm]
0 [mm] \le \lambda \le [/mm] 1,
[mm] x_{0}, x_{1} \in [/mm] I
In diesem Fall wäre I ja die positiven reellen Zahlen. Weiter komm ich allerdings nicht wirklich..
Reicht es auf jeden einzelnen Faktor runterzubrechen? Dazu haben wir allerdings keinen Satz oder ähnliches. Weil von den Faktoren mit der Gammafunktion weiß man ja schon dass sie logarithmisch konvex sind.
Vielen Dannk für jede Hilfe!!
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Wahnsinn. super logisch- vielen lieben Dank!!
Das hilft mir unfassbar weiter :)
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