Legendre Polynome < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Vittoria |
| Aufgabe | L0, L1, L2 seien Legendre Polynome (normiert auf <Lj, Lj> = 1). Bilden Sie für
f(x)=exp x
die Summe
f*(x) = <f, L0>L0(x) + <f, L1>L1(x) + <f, L2>L2(x) für x aus [-1,1]
und vergleichen sie f* und f durch Berechnung einzelner Funktionswerte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo! :)
Mein Problem bei der Aufgabenstellung ist zu verstehen, wie ich diese Polynome aufstellen soll, leider habe ich dazu im Internet keine verständliche Erklärung gefunden. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Lg Vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Mi 05.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Vicky!
> L0, L1, L2 seien Legendre Polynome (normiert auf <Lj, Lj> =
> 1). Bilden Sie für
>
> f(x)=exp x
>
> die Summe
>
> f*(x) = <f, L0>L0(x) + <f, L1>L1(x) + <f, L2>L2(x) für x
> aus [-1,1]
>
> und vergleichen sie f* und f durch Berechnung einzelner
> Funktionswerte
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo! :)
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> Mein Problem bei der Aufgabenstellung ist zu verstehen, wie
> ich diese Polynome aufstellen soll, leider habe ich dazu im
> Internet keine verständliche Erklärung gefunden. Ich hoffe
> ihr könnt mir helfen.
Ich weiß noch nicht, was du nicht verstehst. Die Definition der Legendrepolynome kennst du?
Das Skalarprodukt ist definiert über
[mm] \left< f,g\right> = \integral_{-1}^{+1} f(x) g(x) dx [/mm].
Du schaust den Raum der auf dem Intervall [mm][-1,+1][/mm] quadratintegrablen Funktionen an, also den Raum der Funktionen f, für die [mm][/mm] existiert. Das ist ein Hilbertraum, und die Legendrepolynome bilden eine Orthogonalbasis in diesem Raum.
Daher kann man jede solche Funktion f als Linearkombination von Legendrepolynomen schreiben.
Mit der üblichen Definition der Legendrepolynome [mm]P_n[/mm] (siehe zum Beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier oder hier) gilt:
[mm] \left = \begin{cases} 0, & n\not=m \\ \bruch{2}{2n+1}, & n=m \end{cases} [/mm].
Wegen der Normierung [mm] =1[/mm] unterscheiden sich die hier genannten Polynome [mm]L_j[/mm] von den üblichen Legendrepolynomen [mm]P_j[/mm] durch einen konstanten Faktor.
Damit müsstest du loslegen können: Normierungsfaktor ausrechnen; [mm]f(x)=\exp(x)[/mm] einsetzen und ausrechnen; [mm]f[/mm] und [mm]f^\ast[/mm] vergleichen.
Viele Grüße
Rainer
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