Legendre-Problem < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise, dass:
[mm]\integral_{-1}^{+1}{x^nP_n(x) dx}= \bruch{2^{n+1}(n!)^2}{(2n+1)!} [/mm] |
Hat jemand eine Idee wie man diesen Beweis fuehren kann? Ich dachte an partielle integration, wobei [mm]P_n(x) [/mm] durch Rekursionsformeln als Ableitung ausgedrueckt wird, also ich dachte konkret an die Rekursionsformel:
[mm](2n+1)P_n=\bruch{d}{dx}[P_{n+1}-P_{n-1}][/mm]
Aber irgendwie klappt das nicht so wie ich mir das vorstelle...irgendwie hab ich den Eindruck, dass ich mich hier verkompliziere. Hat jemand nen Tipp wie ich das angehen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Sa 30.05.2015 | | Autor: | hippias |
Fuer mich sieht das erfolgversprechend aus. Vielleicht hast Du ja nur irgendwann einen Rechnenfehler gemacht. Zeige Deine Rechnung, vielleicht sieht dann jemand einen Fehler.
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Hallo, Danke fuer die Antwort! Entschuldigung, dass es mit meiner so lange dauert.
Ich zeig weiter unten Mal an wie das bei mir so aussieht...es geht schon in eine richtige Richtung, ich hab aber noch Muehe da die Loesung rauszulesen.
Is so verdammt anstrengend dass lesbar hinzuschreiben...ich hoffe mein
xy|(-1,1) wird verstanden, ich weiss nicht wie ich hier die Auswertung einer Stammfunktion zwischen (-1) und (1) eintippe.
Also
[mm] \integral_{-1}^{1}{x^n P_n(x)dx} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{x^n {\bruch{d}{dx}[\bruch{P_{n+1}-P_{n-1}}{2n+1}]} dx} [/mm] = partielle Integration = [mm] x^n*\bruch{P_{n+1}-P_{n-1}}{2n+1}|-1,1 -\bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} {[{P_{n+1}-P_{n-1}}]} dx}
[/mm]
Nun wuerde ich nutzen, dass [mm] x^n*\bruch{P_{n+1}-P_{n-1}}{2n+1}|-1,1 [/mm] = 0 , da fuer [mm] P_{n+1} [/mm] und [mm] P_{n-1} [/mm] als Legendre Polynome gilt: [mm] P_{n+1}(1) [/mm] = [mm] P_{n-1}(1) [/mm] = 1 und ausserdem: [mm] P_{n+1}(-1) [/mm] = [mm] P_{n-1}(-1). [/mm] (Da entweder beide Polynome gerade oder beide ungerade sind und fuer Legendre Polynome gilt: [mm] P_{n}(-1) [/mm] = [mm] -1^n)
[/mm]
Also:
[mm] \integral_{-1}^{1}{x^n P_n(x)dx}= \bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} {[{P_{n+1}-P_{n-1}}]} dx}=-\bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} {P_{n+1}dx}}+\bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} {P_{n-1}dx}}=wieder [/mm] mit Rekursionsformel = [mm] -\bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} {\bruch{d}{dx}[\bruch{P_{n+2}-P_{n}}{2(n+1)+1}]}dx}+\bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} \bruch{d}{dx}[\bruch{P_n-P_{n-2}}{2(n-1)+1}]dx}=...
[/mm]
So, und langsam wird das ganze unuebersichtlich (vor allem am Computer :( ). Wundersam ist, dass nun die Terme (2n+3) und (2n-1) anfangen aufzutauchen, wobei der Term (2n) nie auftauchen wird, denn er laesst sich nicht auf die form bringen (2*(n)+1). Wenn dieser Term nicht auftaucht, komme ich aber nie auf ein (2+1)!, wie es gefragt wird!!!
Siehst du etwas?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Mo 01.06.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo, Danke fuer die Antwort! Entschuldigung, dass es mit
> meiner so lange dauert.
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> Ich zeig weiter unten Mal an wie das bei mir so
> aussieht...es geht schon in eine richtige Richtung, ich hab
> aber noch Muehe da die Loesung rauszulesen.
> Is so verdammt anstrengend dass lesbar
> hinzuschreiben...ich hoffe mein
> xy|(-1,1) wird verstanden, ich weiss nicht wie ich hier die
> Auswertung einer Stammfunktion zwischen (-1) und (1)
> eintippe.
>
> Also
> [mm]\integral_{-1}^{1}{x^n P_n(x)dx}[/mm] = [mm]\integral_{-1}^{1}{x^n {\bruch{d}{dx}[\bruch{P_{n+1}-P_{n-1}}{2n+1}]} dx}[/mm]
> = partielle Integration =
> [mm]x^n*\bruch{P_{n+1}-P_{n-1}}{2n+1}|-1,1 -\bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} {[{P_{n+1}-P_{n-1}}]} dx}[/mm]
>
> Nun wuerde ich nutzen, dass
> [mm]x^n*\bruch{P_{n+1}-P_{n-1}}{2n+1}|-1,1[/mm] = 0 , da fuer
> [mm]P_{n+1}[/mm] und [mm]P_{n-1}[/mm] als Legendre Polynome gilt: [mm]P_{n+1}(1)[/mm]
> = [mm]P_{n-1}(1)[/mm] = 1 und ausserdem: [mm]P_{n+1}(-1)[/mm] = [mm]P_{n-1}(-1).[/mm]
> (Da entweder beide Polynome gerade oder beide ungerade sind
> und fuer Legendre Polynome gilt: [mm]P_{n}(-1)[/mm] = [mm]-1^n)[/mm]
>
> Also:
> [mm]\integral_{-1}^{1}{x^n P_n(x)dx}= \bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} {[{P_{n+1}-P_{n-1}}]} dx}=-\bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} {P_{n+1}dx}}+\bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} {P_{n-1}dx}}=wieder[/mm]
Das ist soweit gut. Nur an dieser Stelle solltest Du dich fragen, wie Du den Beweis eigentlich fuehren moechtest. Wenn man dieses "wieder mit Rekurionsformel" sauber hinbekommen moechte, dann solltest Du den Beweis mittels Induktion fuehren.
Es fehlt also bisher der Induktionsanfang, der aber vermutlich leicht nachzurechnen ist. Deine bisherige Rechnung entspricht nun im wesentlichen dem Induktionsschritt. Statt wiederum die Rekursionsformel zu bemuehen, solltest Du die Induktionsvoraussetzung anwenden: [mm] $\int_{-1}^{1}x^{n-1}P_{n-1}dx=$ [/mm] dem Term aus der Aufgabenstellung, wobei $n$ durch $n-1$ ersetzt wird. Das Integral ist also kein Problem mehr.
Es muss aber auch das vordere Integral [mm] $\int_{-1}^{1}x^{n-1}P_{n+1}dx$ [/mm] ausgewertet werden. Dazu faellt mir die Rekursionsgleichung [mm] $(n+1)P_{n+1}= (2n+1)xP_{n}-nP_{n-1}$ [/mm] ein. Auf die daraus resultierenden Integrale kannst Du wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden. Sollte Dir diese Formel nicht bekannt sein, dann koenntest Du sie entweder beweisen, oder wir koennten einen anderen Ansatz suchen.
> mit Rekursionsformel =
> [mm]-\bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} {\bruch{d}{dx}[\bruch{P_{n+2}-P_{n}}{2(n+1)+1}]}dx}+\bruch{n}{2n+1}\integral_{-1}^{1}{x^{n-1} \bruch{d}{dx}[\bruch{P_n-P_{n-2}}{2(n-1)+1}]dx}=...[/mm]
>
> So, und langsam wird das ganze unuebersichtlich (vor allem
> am Computer :( ). Wundersam ist, dass nun die Terme (2n+3)
> und (2n-1) anfangen aufzutauchen, wobei der Term (2n) nie
> auftauchen wird, denn er laesst sich nicht auf die form
> bringen (2*(n)+1). Wenn dieser Term nicht auftaucht, komme
> ich aber nie auf ein (2+1)!, wie es gefragt wird!!!
> Siehst du etwas?
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Hallo! nochmal danke fuer die Antwort!
Ich hab es schliesslich hinbekommen, hab es aber mit einer anderen Methode gemacht. Ich habe die Rodrigues-Formel statt der Rekursionsformeln angewandt, also:
[mm] \integral_{-1}^{1}{x^nP_n(x)dx}= \integral_{-1}^{1}{x^n(\bruch{1}{2^nn!}\bruch{d^n}{dx^l}(x^2-1)^n)dx}=\bruch{1}{2^nn!}\integral_{-1}^{1}{x^n(\bruch{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n)dx}
[/mm]
Dies habe ich nun immer wieder partiell abgeleitet. Ich habe per Induktion (wie du vorgeschlagen hast) bewiesen, dass:
[mm] \bruch{1}{2^nn!}\integral_{-1}^{1}{x^n(\bruch{d^n}{dx^n}(1-x^2)^n)dx}=\bruch{n!(-1)^n}{2^nn!}\integral_{-1}^{1}{(x^2-1)^ndx}
[/mm]
Beim letzten Integral habe ich nun das Vorzeichen gedreht, also
[mm] \bruch{n!(-1)^n}{2^nn!}\integral_{-1}^{1}{(x^2-1)^ndx}=\bruch{n!(-1)^n(-1)^n}{2^nn!}\integral_{-1}^{1}{(1-x^2)^ndx}
[/mm]
Dieses Integral ist nun recht einfach zu evaluieren, erst stellt man fest, dass die Funktion gerade ist, also:
[mm] \bruch{n!(-1)^n(-1)^n}{2^nn!}\integral_{-1}^{1}{(1-x^2)^ndx}=\bruch{2n!(-1)^n(-1)^n}{2^nn!}\integral_{0}^{1}{(1-x^2)^ndx}
[/mm]
Nun fuehrt man eine Substitution durch mit y = [mm] x^2. [/mm] Dadurch bekommt man es schliesslich in die Form:
[mm] \bruch{2n!(-1)^n(-1)^n}{2^nn!}\integral_{0}^{1}{(1-x^2)^ndx}=\bruch{2n!(-1)^n(-1)^n}{2^{n+1}n!}\integral_{0}^{1}{(1-y)^ny^{-1/2}dy}
[/mm]
Und hierauf kann man letztendlich kuerzen und die Definition der Funktion Beta anwenden, also:
[mm] \bruch{n!(-1)^n(-1)^n}{2^nn!}\integral_{0}^{1}{(1-y)^ny^{-1/2}dy}=\bruch{1}{2^n}B(n+1,1/2)
[/mm]
kommt am Ende genau so raus wie es sollte :)
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