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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mo 09.02.2009 | | Autor: | c_stocki |
| Aufgabe | Für welche p [mm] \in [1,\infty] [/mm] liegen die folgenden Funtionen [mm] f_n, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] in [mm] L^{p}(X) [/mm] und konvergieren für [mm] n\to\infty [/mm] in [mm] L^p(X) [/mm] ?
(i) X = [mm] \IR_{+} [/mm] , [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} x^\alpha/n, & \mbox{für } x \in [0,n] \\ 0, & \mbox{für } x>n \end{cases}
[/mm]
mit einer Konstanten [mm] \alpha\in [/mm] (0,1)
(ii) [mm] X=(0,\infty) [/mm] , [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] e^{-nx^2}/\wurzel{x} [/mm] |
Wie zeige ich denn, dass [mm] f_n(x) [/mm] in [mm] L^p(X) [/mm] liegt. Mich verwirrt schon alleine die Anwesenheit des n.
Mach ich das ganz normal indem ich zeige [mm] \parallel f_n \parallel_p [/mm] = [mm] (\integral_{X}{|f(x)_n|^p dx})^{1/p} [/mm] < [mm] \infty [/mm] ? (wie bei normalem f(x))
und wenn ja wie?
und: muss ich, um zu zeigen dass die [mm] f_n [/mm] in [mm] L^p [/mm] konvergieren/bzw. nicht konv., mit majorisierter Konvergenz arbeiten? Also jeweils noch eine Majorante g(x) suchen, die auch in [mm] L^p(X) [/mm] liegt?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:06 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Du mußt doch nur rechnen:
$ [mm] (\integral_{X}{|f(x)_n|^p dx})^{1/p} [/mm] $ = $ [mm] (\integral_{0}^{n}{(\bruch{x^{\alpha}}{n})^p dx})^{1/p} [/mm] $
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Di 10.02.2009 | | Autor: | c_stocki |
| Aufgabe | Hilft nur bedingt, bzw. das ist mir schon klar. Aber für welche p ist das dann in [mm] L^p(X)? [/mm] soll ich dann einfach mal wild abschätzen?
[mm] (\integral_{0}^{n}{|\bruch{x^\alpha}{n}|^p dx})^{1/p} [/mm] = [mm] (\integral_{0}^{n}{(\bruch{x^\alpha}{n})^p dx})^{1/p} \le (\integral_{0}^{n}{\bruch{x^p}{n^p} dx})^{1/p} \le (\integral_{0}^{n}{\bruch{n^p}{n^p} dx})^{1/p} [/mm] = [mm] (\integral_{0}^{n}{ 1 dx})^{1/p} [/mm] = [mm] (\lambda_d((0,n)))^{1/p} [/mm] = [mm] n^{1/p} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
für alle [mm] n\in\IN [/mm] , [mm] p\in[1,\infty].
[/mm]
Also [mm] f\inL^p(X) [/mm] für alle [mm] p\in[1,\infty] [/mm] ??? |
und was heißt dann "in [mm] L^p [/mm] konvergieren"?
Oder muss ich das n gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hilft nur bedingt, bzw. das ist mir schon klar. Aber für
> welche p ist das dann in [mm]L^p(X)?[/mm] soll ich dann einfach mal
> wild abschätzen?
>
> [mm](\integral_{0}^{n}{|\bruch{x^\alpha}{n}|^p dx})^{1/p}[/mm] =
> [mm](\integral_{0}^{n}{(\bruch{x^\alpha}{n})^p dx})^{1/p} \le (\integral_{0}^{n}{\bruch{x^p}{n^p} dx})^{1/p} \le (\integral_{0}^{n}{\bruch{n^p}{n^p} dx})^{1/p}[/mm]
> = [mm](\integral_{0}^{n}{ 1 dx})^{1/p}[/mm] =
> [mm](\lambda_d((0,n)))^{1/p}[/mm] = [mm]n^{1/p}[/mm] < [mm]\infty[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm] , [mm]p\in[1,\infty].[/mm]
> Also [mm]f\inL^p(X)[/mm] für alle [mm]p\in[1,\infty][/mm] ???
Mann ! Das Integral $ [mm] (\integral_{0}^{n}{(\bruch{x^{\alpha}}{n})^p dx})^{1/p} [/mm] $ fällt doch endlich aus. Du kannst es doch sicher alleine mit Schulkenntnissen ausrechnen, oder nicht ?
> und was heißt dann "in [mm]L^p[/mm] konvergieren"?
D.h. : gibt es ein f [mm] \in L^p(X) [/mm] mit
$ [mm] \parallel f_n-f\parallel_p [/mm] $ --> 0 (n --> [mm] \infty)
[/mm]
FRED
> Oder muss ich das n gegen [mm]\infty[/mm] laufen lassen?
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