Lebesguemaß auf Borelalgebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Do 05.11.2015 | | Autor: | Rocky14 |
| Aufgabe | | Das Lebesguemaß [mm] \lambda [/mm] auf der [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] ist translationsinvariant, d.h. [mm] \lambda(A) [/mm] = [mm] \lambda(A+x) [/mm] für alle A [mm] \in \mathcal{B}(\IR), [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] mit A+x={a+x: a [mm] \in [/mm] A} |
Hallo Leute,
wahrscheinlich lachen jetzt viele über diese Aufgabe, aber ich habe momentan total das Brett vorm Kopf, wie ich hier vorgehen muss, da für mich die Aussage so offensichtlich einfach aussieht.
Nach Definition wird die [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] ja durch die Intervalle (a,b) erzeugt, da die offenen Intervalle alle offenen Mengen erzeugen.
Außerdem gilt: x+(a,b) = (x+a,x+b).
Dass [mm] \lambda [/mm] ein Maß ist, gilt ja nach Voraussetzung.
Also muss ich doch nicht mehr zeigen, dass [mm] \lambda(A+x) [/mm] oder [mm] \lambda(A) [/mm] Maße sind ?! Falls doch hätte ich das über das Dynkin-System und die Durchschnittsstabilität versucht.
Was genau soll denn nun gezeigt werden?
Ich bin sehr dankbar für eure Hilfe.
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Hiho,
wenn dir klar ist, dass [mm] \lambda(A+x) [/mm] ein Maß ist, ist erstmal ok. Zeigen könntest du es aber trotzdem schnell. Allerdings hat der Nachweis eines Maßes nix mit den von dir genannten Begriffen zu tun.
Mit dem Nachweis dass die genannte Gleichheit gilt aber schon.
Betrachten wir mal das Maß $ [mm] \tilde{\lambda}(A):=\lambda(A+x) [/mm] $
Zeige nun: $ [mm] \lambda =\tilde{\lambda}$ [/mm] auf [mm] \mathcal{B} [/mm]
Ihr hattet bestimmt einen Satz der Art "Zwei [mm] $\sigma$ [/mm] endliche Maße sind auf einer Sigma Algebra gleich, genau dann wenn ..."
Gruß,
Gono
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