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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:59 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] sei definiert durch [mm] f(x):=x^2e^{-x^2} [/mm] und die Funktion [mm] f_\epsilon(x):=\bruch{f(\epsilon x)}{\epsilon}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] f_\epsilon \in L^1 (\IR) [/mm] für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 (z.B. mit Hilfe einer Majorante) und
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f_\epsilon(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 |
Bei der a) soll ich also zeigen, dass [mm] f_\epsilon [/mm] Lebesgueintegrierbar ist...
Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich die Majorante dafür wählen könnte?
[mm] f_\epsilon (x)=\bruch{(\epsilon x)^2 e^{-(\epsilon x)^2}}{\epsilon}
[/mm]
Gruß Marty
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Ein paar gezielte Fragen: Welchen Wert nimmt [mm]e^{-x^2}[/mm] maximal an? Wo? Ändert sich was, wenn du [mm]e^{-(\epsilon x)^2}[/mm] betrachtest? Was folgt daraus für die Majorante? 
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:07 So 25.11.2007 | | Autor: | Marty |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort, ich komme damit aber trotzdem nicht zurecht...
> Ein paar gezielte Fragen: Welchen Wert nimmt [mm]e^{-x^2}[/mm]
> maximal an? Wo? Ändert sich was, wenn du [mm]e^{-(\epsilon x)^2}[/mm]
> betrachtest? Was folgt daraus für die Majorante?
[mm]e^{-x^2}[/mm] geht für x -> [mm] \infty [/mm] gegen 0
Die Ableitung ist [mm](-x^2)e^{-x^2}[/mm]
Also wird f(x) maximal bei x=0
Wenn ich [mm]e^{-(\epsilon x)^2}[/mm] betrachte ändert sich nichts!
Was sagt mir das jetzt über die Majorante?
Gruß Marty
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Wenn [mm]e^{-\epsilon x^2}[/mm] bei 0 maximal wird (wie du sehr richtig erkannt hast) und dort den Wert 1 annimmt, dann ist es wohl nicht unvernünftig anzunehmen, dass stets gilt:
[mm](\epsilon x)^2 \ge (\epsilon x)^2 \ e^{-\epsilon x^2}[/mm]
Wie sieht also die gesuchte Majorante aus? Das war jetzt eine Suggestivfrage... 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:13 Mo 26.11.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi,
> Wenn [mm]e^{-\epsilon x^2}[/mm] bei 0 maximal wird (wie du sehr
> richtig erkannt hast) und dort den Wert 1 annimmt, dann ist
> es wohl nicht unvernünftig anzunehmen, dass stets gilt:
>
> [mm](\epsilon x)^2 \ge (\epsilon x)^2 \ e^{-\epsilon x^2}[/mm]
>
> Wie sieht also die gesuchte Majorante aus? Das war jetzt
> eine Suggestivfrage...
womit nur noch das problem bliebe, dass [mm] $f(x)=(\epsilon x)^2$ [/mm] nicht in [mm] $L^1(\mathbb{R})$ [/mm] ist und somit als majorante ausfaellt...
gruss
matthias
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Wieso? Für festes [mm] \epsilon [/mm] natürlich schon.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Di 27.11.2007 | | Autor: | MatthiasKr |
Hat [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ein endliches integral ueber [mm] $\mathbb{R}$? [/mm] Nicht dass ich wuesste.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Di 27.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
> Die Funktion f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] sei definiert durch
> [mm]f(x):=x^2e^{-x^2}[/mm] und die Funktion
> [mm]f_\epsilon(x):=\bruch{f(\epsilon x)}{\epsilon}.[/mm]
> a) Zeigen
> Sie, dass [mm]f_\epsilon \in L^1 (\IR)[/mm] für alle [mm]\epsilon[/mm] > 0
> (z.B. mit Hilfe einer Majorante) und
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f_\epsilon(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] für alle [mm]\epsilon[/mm] >
> 0
> Bei der a) soll ich also zeigen, dass [mm]f_\epsilon[/mm]
> Lebesgueintegrierbar ist...
> Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich die Majorante
> dafür wählen könnte?
> [mm]f_\epsilon (x)=\bruch{(\epsilon x)^2 e^{-(\epsilon x)^2}}{\epsilon}[/mm]
ich muss sagen, mir kommt die aufgabe sehr schleierhaft vor... bist du sicher, dass du [mm] $f_\epsilon$ [/mm] richtig definiert hast? Fuer mich wuerde
[mm] $f_\epsilon:=\epsilon f(\epsilon [/mm] x)$
mehr sinn machen. denn: wenn du statt x als argument [mm] $\epsilon [/mm] x$ hast, streckt sich die funktion in die breite fuer kleine werte von eps. durch den faktor 1/eps streckt sie sich auch noch in die hoehe, das integral vervielfacht sich also... mathematisch gefasst ist das
[mm] $\int_\mathbb{R} f_\epsilon(x) dx=\int_\mathbb{R} \frac1\epsilon f(\epsilon [/mm] x) dx$
substituiert man nun [mm] $y=\epsilon [/mm] x$, erhaelt man
[mm] $=\frac{1}{\epsilon^2}\int_\mathbb{R} [/mm] f(y) dy$
merkwuerdig also...
gruss
matthias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mo 26.11.2007 | | Autor: | HerrRobert |
Hinweis
Betrachten Sie, bitte, den Hinweis
[mm] exp(-x^2) [/mm] = [mm] exp(-x^2/2) [/mm] * [mm] exp(-x^2/2)
[/mm]
[Verzeihung, mein Deutsch ist noch nicht perfekt.]
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