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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Do 29.06.2006 | | Autor: | hanesy |
| Aufgabe | Sei [mm] K^n=\{x_1,...,x_n aus \IR^2 | x_1^2+...+x_n^2 \le 1\} [/mm] und [mm] m_k [/mm] das Lebesgue'sche Maß auf [mm] R^k.
[/mm]
Zeige, dass für n [mm] \ge [/mm] 1 gilt:
[mm] m_{n+1}(K^{n+1})=2*m_n(K^n)* \integral_{0}^{1}{(1-x^2)^{n/2} dx} [/mm] |
Ich habe die Transformationsformel angewandt mit der Transformation [mm] y_j=x_j/\wurzel{1-x_{n+1}^2} [/mm] und mit als Determinante wie gefordert den Kehrwert des Integrals herausbekommen. Allerdings ist es mir schleierhaft, wo der Faktor 2 herkommt. Als Tipp habe ich noch bekommen, dass der Satz von Fubini helfen soll. Ich kenne den Satz sehe hier aber irgendwie keine rechte Gelegenheit ihn anzuwenden.
Danke im Voraus für jede Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Sei [mm]K^n=\{x_1,...,x_n aus \IR^2 | x_1^2+...+x_n^2 \le 1\}[/mm]
> und [mm]m_k[/mm] das Lebesgue'sche Maß auf [mm]R^k.[/mm]
> Zeige, dass für n [mm]\ge[/mm] 1 gilt:
> [mm]m_{n+1}(K^{n+1})=2*m_n(K^n)* \integral_{0}^{1}{(1-x^2)^{n/2} dx}[/mm]
>
> Ich habe die Transformationsformel angewandt mit der
> Transformation [mm]y_j=x_j/\wurzel{1-x_{n+1}^2}[/mm] und mit als
> Determinante wie gefordert den Kehrwert des Integrals
> herausbekommen. Allerdings ist es mir schleierhaft, wo der
> Faktor 2 herkommt. Als Tipp habe ich noch bekommen, dass
> der Satz von Fubini helfen soll. Ich kenne den Satz sehe
> hier aber irgendwie keine rechte Gelegenheit ihn
> anzuwenden.
> Danke im Voraus für jede Hilfe
>
Fubini und Trafo-Formel sind hier die Mittel der Wahl, das ist absolut richtig. Ohne Fubini kann es nicht gehen, denn Du willst ja eine Rekursionsformel als ergebnis haben, also musst du die dimension des integrals reduzieren.
du integrierst also zuerst über eine koordinate und musst schauen, welche bedingungen sich dadurch für die übrigen koordinaten ergeben. Die integration müsste eigentlich von -1 bis 1 laufen, aufgrund der symmterie der kugel kann man aber auch nur von 0 bis 1 integrieren und das ganze verdoppeln, daher der Faktor 2.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 29.06.2006 | | Autor: | hanesy |
es tut mir leid, ich weiß im prinzip steht der weg da, aber ich habe mit fubini keine erfahrung und mit den Definitionen aus der Vorlesung meine Problemchen. ist der Ansatz so richtig:
[mm] m_{n+1}(K^{n+1})= \integral_{K^{n+1}}^{}{1dm_{n+1}}= \integral_{K^n}^{}{}2* \integral_{x_{n+1}=0}^{1}{1dm_{n+1}} [/mm] ???
Nach der Integration nach [mm] x_{n+1} [/mm] würde ich mit der Transformation
[mm] \vektor{x_1 \\ ...\\x_n+1} \mapsto \vektor{x_1 \wurzel{1-x_{n+1}^2} \\ ...\\x_n \wurzel{1-x_{n+1}^2} \\} [/mm] über die Determinante zu dem Term
[mm] \integral_{0}^{1}{(1-x^2)^{n/2} dx} [/mm] kommen.
Ich weiss aber nicht wie ich nach der einen Koordinate [mm] x_{n+1} [/mm] konkret integrieren kann ?!?!
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Hallo,
man kann sich ja Fubini vorstellen wie scheiben-weises integrieren. nimm die 3D-Kugel: man startet am südpol, wo die entsprechende 2D-Schnitt-Kugel nur aus einem punkt besteht und somit maß 0 hat und geht dann schrittweise bis zum nordpol. über diese 2D-Maße integriert man anschließend 1-dim.. konkret:
[mm] $m_{n+1}(K^{n+1})=\int_{K^{n+1}}1\; dm_{n+1}=\int_{-1}^{1} \int_{x_1^2+...+x_n^2+r^2<=1} 1\; dm_n\; [/mm] dr$
[mm] $=\int_{-1}^{1} m_n(K^n_{\sqrt{1-r^2}} )\; [/mm] dr$,
wobei [mm] K^n_d [/mm] die n-dim. Kugel mit radius d sein soll. Jetzt kannst du noch transformieren und du bist fertig.
Klar?
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Do 29.06.2006 | | Autor: | hanesy |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. das mit der Dimension verringern hört sich logisch an, mein problem dabei war/ist, dass ich bei Fubini doch 2 Integrale nacheinander bilden muss !?!?
Da hab ich nie annährend die Chance gesehen auf den Faktor 2 zu kommen.
Habe es mit dem Ansatz versucht dass
[mm] x_1,...,x_{n+1} \le1 \Rightarrow x_1,...,x_n \le 1-x_{n+1}
[/mm]
oder muss ich etwa noch versuchen eine Treppenfunktion zu finden mit der ich dann das Integral bestimme !?
vielen dank und gruß
hanesy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Do 29.06.2006 | | Autor: | hanesy |
sorry, hab erst den status geändert und dann geantwortet, passiert nicht nochmal.
der erste tipp hat mir schon geholfen, aber ich habe weiterhin schwierigkeiten mit dem Integral
ist denn [mm] m_{n+1}(K^{n+1})= \integral_{K^n}^{}{T(x) dx} [/mm] wobei T(X) eine nicht näher bestimmt Treppenfunktion sei??? kann es denn überhaupt klappen ohne dass ich mir eine solche treppenfunktion basteln muss ?
gruß
hanesy
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also, das volumen einer Menge ist doch definiert als integral der charakteristischen Funktion bzw. der 1-Funktion über die Menge, also
[mm] $m_{n+1}(K^{n+1})=\int_{K^{n+1}}1 dm_{n+1}$
[/mm]
Mit Treppenfunktionen hat das ganze eigentlich nichts zu tun. Dieses n+1-dimensionale integrale kannst du nun in ein 1-dim. und ein n-dim. integral spalten, indem du über eine koordinate integrierst (zB. über [mm] $x_{n+1}$). [/mm] du musst dann natürlich berücksichtigen, wie sich das integrationsgebiet des n-dim. integrals in abhängigkeit von [mm] x_{n+1} [/mm] verändert.
Gruß
Matthias
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