Lebesgue integrierbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Do 12.11.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für alle [mm] a\in[0,1] [/mm] die Funktion [mm] f_a(x)=\bruch{sin(x)}{exp(x)-a} [/mm] bzgl. Lebesguemaßes auf [mm] (0,\infty) [/mm] integrierbar ist und [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{exp(x)-a} dx}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a^{n-1}}{1+n^2}. [/mm] |
Hallo!!
Hätte gerne Hilfe bei der Aufgabe gebraucht.
Nach Def. ist eine Funktion integrierbar, wenn [mm] \integral{|f(x)| dx}<\infty. [/mm] Mein Probelm ist hier die Stammfunktion zu bestimmen. Oder gibt es vll einen schöneren Weg die Integrierbarkeit zu beweisen? Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das machen könnte?
Danke im Voraus
LG
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Hallo,
> Beweisen Sie, dass für alle [mm]a\in[0,1][/mm] die Funktion
> [mm]f_a(x)=\bruch{sin(x)}{exp(x)-a}[/mm] bzgl. Lebesguemaßes auf
> [mm](0,\infty)[/mm] integrierbar ist und
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{sin(x)}{exp(x)-a} dx}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a^{n-1}}{1+n^2}.[/mm]
> Hallo!!
> Hätte gerne Hilfe bei der Aufgabe gebraucht.
> Nach Def. ist eine Funktion integrierbar, wenn
> [mm]\integral{|f(x)| dx}<\infty.[/mm] Mein Probelm ist hier die
> Stammfunktion zu bestimmen.
Ein kleiner Test beim wolfram 'integrator' zeigt, dass die stammfunktion ziemlich unschoen ist und dass man vermutlich wochen bis monate brauchen wuerde, um sie komplett herzuleiten.
Ich vermute daher, dass Ihr die aufgabe irgendwie anders loesen sollt.
Eine Idee (ohne jede garantie darauf, dass sie zum ziel fuehrt) waere vielleicht, den integranden in eine potenzreihe zu entwickeln. Der integrand ist analytisch (zumindest auf [mm] $(0,\infty)$) [/mm] und kann somit (erstmal lokal) in seine taylorreihe entwickelt werden. Evtl. kann man zeigen, dass der konvergenzradius [mm] $\infty$ [/mm] ist und somit der integrand (wie sinus und exp) als potenzreihe dargestellt werden kann. Dann koennte man ihn (unter gewissen, noch zu pruefenden, voraussetzungen) summanden-weise integrieren...
ich weiss, das hoert sich auch nicht gerade nach einer trivialen loesung an.  Was anderes faellt mir aber im moment nicht ein, vielleicht hat jemand anderes noch eine bessere idee.
gruss
Matthias
> Oder gibt es vll einen
> schöneren Weg die Integrierbarkeit zu beweisen? Kann mir
> jemand einen Tipp geben, wie ich das machen könnte?
> Danke im Voraus
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:18 Fr 13.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Eine Idee (ohne jede garantie darauf, dass sie zum ziel
> fuehrt) waere vielleicht, den integranden in eine
> potenzreihe zu entwickeln. Der integrand ist analytisch
> (zumindest auf [mm](0,\infty)[/mm]) und kann somit (erstmal lokal)
> in seine taylorreihe entwickelt werden. Evtl. kann man
> zeigen, dass der konvergenzradius [mm]\infty[/mm] ist
Fuer $a = 0$ ist er unendlich, da die Funktion dann ganz ist. Fuer $a [mm] \in [/mm] (0, 1]$ hat [mm] $\frac{\sin(x)}{\exp(x) - a}$ [/mm] jedoch einfache Pole, womit der Konvergenzradius endlich sein muss.
> ich weiss, das hoert sich auch nicht gerade nach einer
> trivialen loesung an. Was anderes faellt mir aber im
> moment nicht ein, vielleicht hat jemand anderes noch eine
> bessere idee.
Momentan faellt mir da auch nichts ein, ausser zur Integrierbarkeit. Es gilt ja [mm] $|f_a(x)| \le \frac{1}{\exp(x) - a} \le \frac{1}{\exp(x) - 1}$ [/mm] (da $x > 0$), womit man [mm] $\int_1^\infty |f_a(x)| [/mm] dx$ abschaetzen kann. (Eine Stammfunktion von [mm] $\frac{1}{\exp(x) - 1}$ [/mm] ist [mm] $\ln(\exp(x) [/mm] - 1) - x$.)
Fehlt also [mm] $\int_0^1 |f_a(x)| [/mm] dx$. Fuer $a < 1$ ist dies kein Problem, da dann [mm] $\exp(x) [/mm] - a > 0$ ist fuer alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ und man somit [mm] $|f_a(x)| \le \frac{1}{1 - a}$ [/mm] hat. Es fehlt also nur noch eine Abschaetzung fuer [mm] $\int_0^1 \frac{\sin(x)}{\exp(x) - 1} [/mm] dx$. Man kann natuerlich den Integranden durch [mm] $\frac{x}{\exp(x) - 1}$ [/mm] abschaetzen und einen Potenzreihenansatz versuchen, damit sollte man zum Ziel kommen. Vielleicht geht's aber auch noch eleganter.
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Fr 13.11.2009 | | Autor: | iks |
Hallo math101!
Habe beim stöbern in einem anderen ![[]](/images/popup.gif) Forum etwas für dich gefunden.
SChau dir mal den Beitrag vom 13.11. 18:32 an
mFg iks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Sa 14.11.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, Leute!!!!
100000000 mal danke für eure Hilfe!!! Das hat mir echt weiter geholfen!!![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
LG
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