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Ich muss beim untenstehenden Fall die Lebesgue integrierbarkeit zeigen. Ihc weiss dass ich die Stammfunktion bilden muss dann mit Folgenfunktionen die gegen die Funktion konvergieren integral berechnen muss. Aber die Frage ist wie kann ich bei so einem Integral die Stammfunktion bilden. wie macht man das lagemein
Nun die Frage
f(x):= [mm] \integral_{0}^{ \infty} [/mm] { [mm] t^{x-1}exp(-t)dt} [/mm] für alle x>0
danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo ishak!
Es handelt sich um die bekannte [mm] $\Gamma$-Funktion [/mm] (Gamma-Funktion).
Du kannst hier den folgenden Satz verwenden:
Ist $I [mm] \subset \IR$ [/mm] ein Intervall und $f: I [mm] \to \IR$ [/mm] Riemann-integrierbar über jedes kompakte Teilintervall von $I$, so ist $f$ genau dann Lebesgue-intergrierbar über $I$, wenn $|f|$ uneigentlich Riemann-integrierbar ist über $I$, und dann stimmt das uneigentliche Riemann-Integral von $f$ über $I$ mit dem Lebesgue-Integral überein.
Das uneigentliche Riemann-Integral existiert aber wegen
$0 [mm] \le t^{x-1}e^{-t} \le \frac{t}{1-x}$ [/mm] für alle $t>0$
und
$0 [mm] \le t^{x-1}e^{-t} \le \frac{1}{t^2}$ [/mm] für alle [mm] $t\ge t_0>0$,
[/mm]
da [mm] $\lim\limits_{t \to \infty} t^{x+1}e^{-t}=0$.
[/mm]
Beachte hierbei, dass
1) das Integral [mm] $\int\limits_0^{t_0} \frac{dx}{x^s}$ [/mm] für $s<1$ konvergiert und
2) das Integral [mm] $\int\limits_{t_0}^{\infty} \frac{dx}{x^s}$ [/mm] für $s>1$ konvergiert.
Viele Grüße
Stefan
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