Lebesgue Integral, symm.Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:17 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei A eine reelle symmetrische nxn Matrix und f: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
x-> [mm] exp(-x^T\!Ax).
[/mm]
Zeigen Sie:
a) f ist genau dann über ganz [mm] \IR^n [/mm] integrierbar, wenn A positiv definit ist.
b)In diesem Fall gilt [mm] \int_{\IR^n}^{} f(x)\, d\lambda(x)=\wurzel{\bruch{\pi^n} { \prod_{i=1}^{n} \lambda_i}} [/mm] ,
wobei [mm] \lambda_1 ,...,\lambda_n [/mm] Eigenwerte von A sind.
Hinweis:
Jede symmetrische Matrix läßt sich als [mm] A=SDS^T [/mm] mit einer Diagonalmatrix D und einer orthogonalen Matrix S, d.h [mm] S=S^{-1} [/mm] , schreiben.Benutzen Sie die Transformation x->Sx und [mm] \Gamma(1/2)=\wurzel{\pi}. [/mm] |
Hallo,
zu (a) : Ich denke, daß man Rückrichtung der Äquivalenz "sofort" zeigen kann.
Wenn A positiv definit ist, dann sind alle Eigenwerte positiv. Dann existiert bei (b) der Wurzelterm ( da er nichtnegativ ist) . Damit ist f integrierbar nach (b) .
Wie kann man die Hinrichtung zeigen ?
PS: die Aufgabe ist aus der Integrationstheorie. Die Kenntnisse aus der Linearen Algbera muss ich eventuell auffrischen.
Gruß
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 14.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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