Lebesgue Dichte bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Di 15.12.2015 | | Autor: | Rocky14 |
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable auf [mm] (\Omega, [/mm] A, [mm] \IP), [/mm] sodass das Bildmaß [mm] \IP^X [/mm] eine Lebesguedichte f besitzt.
a) Zeige, dass Y=|X| die Dichte [mm] (f(x)+f(-x))1_{(0,\infinity)}(x) [/mm] besitzt.
b) Folgere, dass E(X|Y)= (f(Y)/g(Y))*Y -(f(-Y)/g(Y))*Y [mm] \IP [/mm] fast sicher gilt |
Bei a) würde ich wie folgt vorgehen:
Angenommen |X| hat Dichte f(x). Dann gilt
[mm] \IP(a \le [/mm] X [mm] \le [/mm] b) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Damit gilt insbesondere:
[mm] \IP(a \le [/mm] |X| [mm] \le [/mm] b)
= [mm] \IP(a \le [/mm] X [mm] \le [/mm] b) + [mm] \IP(-b \le [/mm] X [mm] \le [/mm] -a)
= [mm] \IP(a \le [/mm] X [mm] \le [/mm] a) + [mm] \IP(b \ge [/mm] -X [mm] \ge [/mm] a)
= [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{f(-x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{a}^{b}{(f(x)+f(-x))dx}
[/mm]
Wähle a = 0 und b = [mm] \infty, [/mm] damit folgt die Behauptung.
Kann ich das so machen oder st das zu einfach gedacht?
Zur b) habe ich leider noch keine Ahnung. Könnt ihr mir da irgendwelche Tipps geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Mi 16.12.2015 | | Autor: | wauwau |
b) verstehe ich nicht, denn was ist g?
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Hiho,
deine Idee ist eigentlich ok, aber nicht korrekt begründet.
> Wähle a = 0 und b = [mm]\infty,[/mm] damit folgt die Behauptung.
Das würde mir so nicht reichen.
Es geht aber einfacher, läuft aber letztendlich aufs gleiche hinaus nur ohne dass du Geschwurbel mit a und b einsetzt.
Und zwar:
Sei [mm] f_X [/mm] die Dichte von X und [mm] f_Y [/mm] die Dichte von Y, so ist:
[mm] $f_Y(x) [/mm] = (P( Y [mm] \le [/mm] x))' = (P(X [mm] \le [/mm] x) - P(X [mm] \le [/mm] -x))' = [mm] f_X(x) [/mm] + [mm] f_Y(-x)$
[/mm]
Zur b) hat wauwau ja bereits das Problem geschildert.
Gruß,
Gono
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> Kann ich das so machen oder st das zu einfach gedacht?
>
> Zur b) habe ich leider noch keine Ahnung. Könnt ihr mir da
> irgendwelche Tipps geben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Do 17.12.2015 | | Autor: | Rocky14 |
Sorry, g ist die Dichte aus a)
also g(x) = [mm] (f(x)+f(-x))1_{(0,\infty)}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Do 17.12.2015 | | Autor: | Rocky14 |
So richtig verstehe ich deine Idee zur a) noch nicht.
$ [mm] f_Y(x) [/mm] = (P( Y [mm] \le [/mm] x))' = (P(X [mm] \le [/mm] x) - P(X [mm] \le [/mm] -x))' = [mm] f_X(x) [/mm] + [mm] f_X(-x)$
[/mm]
Muss das nicht so?
Und wie genau baue ich da jetzt das Intervall ein?
Liegt es daran, dass der Betrag nur auf [mm] [0,\infty) [/mm] definiert ist?
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Hiho,
> So richtig verstehe ich deine Idee zur a) noch nicht.
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> [mm]f_Y(x) = (P( Y \le x))' = (P(X \le x) - P(X \le -x))' = f_X(x) + f_X(-x)[/mm]
>
> Muss das nicht so?
Was muss wie?
> Und wie genau baue ich da jetzt das Intervall ein?
> Liegt es daran, dass der Betrag nur auf [mm][0,\infty)[/mm] definiert ist?
Ja, obige Ungleichung gilt ja nur für [mm] $x\ge [/mm] 0$.
Für [mm] $x\le [/mm] 0$ überlegt man sich recht leicht $F(Y [mm] \le [/mm] x) [mm] \equiv [/mm] 0$ und damit [mm] $f_Y(x) \equiv [/mm] 0$.
Zur b) Wie habt ihr denn $E[X|Y]$ definiert?
Oder habt ihr bereits gezeigt, dass [mm] $E(X|Y)=\int _{a}^{b}xf_{X\mid Y}(x,Y)\,dx$ [/mm] gilt?
Früheres Übungsblatt oder so...
Gruß,
Gono
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