Lebesgue-messbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Mo 23.11.2009 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | (a) Zeigen Sie, dass [mm] \IQ \subset \IR [/mm] Lebesgue-messbar ist und berechnen Sie das Lebesguemaß von [mm] \IQ.
[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass die Borel-sigma-Algebra B = [mm] B(\IR^{n}) [/mm] von Würfeln mit rationalen Eckpunkten erzeugt wird. |
Hallo!
Ich sitze gerade über Aufgabeteil (a) und habe mir gedacht, dass ich eigentlich zeigen müsste, dass die bzgl. des äußen Lebesguemaßes messbaren Mengen A [mm] \subset \IQ [/mm] eine Sigma-Algera bilden.
Dazu müsste ich ja erstmal, wenn ich es richtig verstanden habe alle messbaren Mengen bestimmen, d.h ich muss für das Lebesguemaß L zeigen:
Für alle E [mm] \subset \IQ [/mm] gilt L(E) = L(E [mm] \cap [/mm] A)+L(E \ A).
Jedoch habe ich Probleme dieses zu zeigen, wenn ich einfach nach der Definition des Lebesguemaßes gehe.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße und Danke schonmal Julsch
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Hallo Julsch,
da [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, kannst du [mm] \IQ [/mm] wie darstellen?
Was weisst du dann über die Elemente?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mo 23.11.2009 | | Autor: | julsch |
Hallo Gono!
[mm] \IQ [/mm] lässt sich dann darstellen als { [mm] \bruch{a}{b} [/mm] | a [mm] \in \IN [/mm] , b [mm] \in \IZ}.
[/mm]
Für mich sieht es dann auch logisch aus, dass L(E) = L(E [mm] \cap [/mm] A) + L(E \ A) gilt, jedoch wie kann man es am besten aufschreiben?
Reicht es einfach zu schreiben:
L(E)
= L( (E [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (E \ A) )
=L(E [mm] \cap [/mm] A) + L(E \ A) wegen entweder disjunkten Mengen oder Liniarität von dem Lebesguemaß???
Gruß Julsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Hi, ich verstehe nicht was du machen willst.
Du sollst zeigen, dass [mm] \IQ [/mm] Lebesgue-messbar ist.
Dazu musst du dir erstmal die Definition von "Lebesgue-messbar" klar machen.
Wenn du das hast, dann siehst, wo du die Abzählbarkeit von [mm] \IQ [/mm] einbauen musst.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mo 23.11.2009 | | Autor: | julsch |
Unsere Definition von Lebesgue-messbar lautet:
Die Sigma-Algebra der bzgl. des äußeren Lebesguemaßes [mm] \lambda [/mm] : [mm] \mathcal{P}(\IR^{n})\to [/mm] [0, [mm] \infty] [/mm] messbaren Mengen bezeichnen [mm] L(\IR^{n}). [/mm] Ihre Elemente heißen Lebesgue-messbare Mengen.
Was hab ich mir denn darunter vorzustellen? Kann mir jemand die Definition erklären?
LG Julsch
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Hiho,
> Die Sigma-Algebra der bzgl. des äußeren Lebesguemaßes
> [mm]\lambda[/mm] : [mm]\mathcal{P}(\IR^{n})\to[/mm] [0, [mm]\infty][/mm] messbaren
> Mengen bezeichnen [mm]L(\IR^{n}).[/mm] Ihre Elemente heißen
> Lebesgue-messbare Mengen.
Die "Sigma-Algebra".... da liegt der Hase im Pfeffer begraben.
Da [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist, lässt sich [mm] \IQ [/mm] darstellen als [mm] $\bigcup_{n\in \IN} q_n$ [/mm] wobei [mm] q_n [/mm] alle Punkte von [mm] \IQ [/mm] sind.
Was weisst du nun über die Lesbeque-Meßbarkeit von Punkten und über abzählbare Vereinigungen von Lesbeque-Mengen?
MFG,
Gono.
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