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| Aufgabe | Sei [mm] $\epsilon>0$ [/mm] fest. Sei $A$ die Menge aller Zahlen [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] mit der folgenden Eigenschaft:
Es gibt unendlich viele rationale Zahlen [mm] $\frac{m}{n}$ [/mm] (mit [mm] $m,n\in\mathbb{N}$) [/mm] so, dass
[mm] |x-\frac{m}{n}|\leq\frac{1}{n^{2+\epsilon}}.
[/mm]
Bestimmen Sie das Lebesgue-Maß von $A$. |
Hallo,
ich möchte diese Aufgabe lösen.
Ich möchte das Lemma von Borell-Cantelli anwenden und vermute, dass P(A)=1. Um dies nachzuweisen benötige ich eine Folge [mm] $A_1, [/mm] ..., [mm] A_k$ [/mm] von unabhängigen Ereignissen mit
[mm] $\sum_{i=1}^\infty P(A_i)=\infty$
[/mm]
Und [mm] $\lim [/mm] sup [mm] A_i=A$, [/mm] denn dann gilt
[mm] $P(\lim [/mm] sup [mm] A_i)=P(A)=1$
[/mm]
Nur leider weiß ich nicht so recht, wie ich eine solche Folge von Ereignissen angeben kann.
Edit:
Ich muss ja [mm] $A_i$ [/mm] finden so, dass ich $A$ darstellen kann als
[mm] $A=\bigcap_{j=1}^\infty\bigcup_{i=j}^\infty A_i$
[/mm]
Zu dieser Menge hätte ich eine Frage, weil ich mir nicht sicher bin, wie man es ließt.
Also wenn [mm] $x\in [/mm] A$ dann muss es mindestens ein [mm] A_i [/mm] geben so, dass [mm] x\in A_i [/mm] liegt. Denn dann liegt [mm] $x\in\bigcup_{i=j}^\infty A_i$. [/mm]
Über was für Mengen wird nach der Vereinigung der Schnitt gebildet?
Denn dann muss in jeder Menge später dieses x liegen.
Aber welche Mengen sind das? Wenn ich zu erst [mm] $\bigcup_{i=j}^\infty A_i$
[/mm]
bestimme, dann ist dies ja nur "eine" Menge?
Was verstehe ich daran falsch?
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 12.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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