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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Sa 22.01.2011 | | Autor: | martinii |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IR^n [/mm] mit a<b.
Zeigen Sie: [mm] \mu_{n}((a,b)) [/mm] = [mm] \mu_{n}((a.b]) [/mm] |
Hallo,
habe diese Aufgabe in meinen Unterlagen gefunden, komme aber nicht wirklich weiter.
Wäre dankbar für ein paar Tipps. 
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien a,b [mm]\in \IR^n[/mm] mit a<b.
> Zeigen Sie: [mm]\mu_{n}((a,b))[/mm] = [mm]\mu_{n}((a.b])[/mm]
> Hallo,
>
> habe diese Aufgabe in meinen Unterlagen gefunden, komme
> aber nicht wirklich weiter.
> Wäre dankbar für ein paar Tipps.
>
> LG
>
>
Tipp:
es ist $(a,b]= (a,b) [mm] \cup [/mm] N$ , wobei N eine Nullmenge ist und $(a,b) [mm] \cap [/mm] N= [mm] \emptyset$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 So 23.01.2011 | | Autor: | martinii |
Vielen Dank schon mal für deine Antwort.
Leider komm ich irgendwie immer noch nicht so weiter. Liegt vll auch daran, dass ich das Thema noch nicht so ganz verstehe...
Der Unterschied zwischen (a,b) = (a,b] ist also die Nullmenge, da rechts das b mit enthalten ist und links nicht.
Aber wie hilft mir das jetzt weiter. Die Nullmenge besagt ja nur, dass das Volumen gleich null ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank schon mal für deine Antwort.
>
> Leider komm ich irgendwie immer noch nicht so weiter. Liegt
> vll auch daran, dass ich das Thema noch nicht so ganz
> verstehe...
>
> Der Unterschied zwischen (a,b) = (a,b] ist also die
> Nullmenge, da rechts das b mit enthalten ist und links
Nicht nur b ist in (a,b) nicht enthalten, sondern auch noch einige Hyperebenen, denn a,b [mm] \in \IR^n [/mm] !!!
Mach Dir mal ein Bild im [mm] \IR^2 [/mm] und im [mm] \IR^3
[/mm]
> nicht.
>
> Aber wie hilft mir das jetzt weiter. Die Nullmenge besagt
> ja nur, dass das Volumen gleich null ist.
Es ist (a,b] = (a,b) [mm] \cup [/mm] N und (a,b) [mm] \cap [/mm] N = [mm] \emptyset.
[/mm]
Dann:
[mm] \mu_n((a,b])= \mu_n((a,b))+\mu_n(N)
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 23.01.2011 | | Autor: | martinii |
> Nicht nur b ist in (a,b) nicht enthalten, sondern auch noch
> einige Hyperebenen, denn a,b [mm]\in \IR^n[/mm] !!!
>
Woran erkenn ich das denn, dass hier nicht alle Hyperebenen enthalten sind?
Ich weiß über Hyperebenen, dass wenn [mm] V\subset\IR [/mm] dann dim V=n-1 ist und das Hyperebenen Nullmengen sind.
> [mm]\mu_n((a,b])= \mu_n((a,b))+\mu_n(N)[/mm]
Soweit hab ich mir das dann auch gedacht.
aber ich weiß nicht wie ich mathematisch daraus folgern kann, dass diese zwei Volumen gleich sind.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 23.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Nicht nur b ist in (a,b) nicht enthalten, sondern auch noch
> > einige Hyperebenen, denn a,b [mm]\in \IR^n[/mm] !!!
> >
> Woran erkenn ich das denn, dass hier nicht alle Hyperebenen
> enthalten sind?
Hast Du Dir ein Bild gemacht ??
> Ich weiß über Hyperebenen, dass wenn [mm]V\subset\IR[/mm] dann dim
> V=n-1 ist und das Hyperebenen Nullmengen sind.
Na also
>
> > [mm]\mu_n((a,b])= \mu_n((a,b))+\mu_n(N)[/mm]
>
> Soweit hab ich mir das dann auch gedacht.
> aber ich weiß nicht wie ich mathematisch daraus folgern
> kann, dass diese zwei Volumen gleich sind.
N ist eine endliche Vereinigung von Nullmengen , also ist N wieder eine Nullmenge, damit ist [mm] \mu_n(N)=0
[/mm]
FRED
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 So 23.01.2011 | | Autor: | martinii |
> > > Nicht nur b ist in (a,b) nicht enthalten, sondern auch noch
> > > einige Hyperebenen, denn a,b [mm]\in \IR^n[/mm] !!!
> > >
> > Woran erkenn ich das denn, dass hier nicht alle Hyperebenen
> > enthalten sind?
>
> Hast Du Dir ein Bild gemacht ??
Für [mm] \IR^2 [/mm] kommt eine Gerade heraus und [mm] \IR^3 [/mm] ein Quadrat.
>
> > Ich weiß über Hyperebenen, dass wenn [mm]V\subset\IR[/mm] dann dim
> > V=n-1 ist und das Hyperebenen Nullmengen sind.
>
> Na also
> >
> > > [mm]\mu_n((a,b])= \mu_n((a,b))+\mu_n(N)[/mm]
> >
> > Soweit hab ich mir das dann auch gedacht.
> > aber ich weiß nicht wie ich mathematisch daraus
> folgern
> > kann, dass diese zwei Volumen gleich sind.
>
>
> N ist eine endliche Vereinigung von Nullmengen , also ist N
> wieder eine Nullmenge, damit ist [mm]\mu_n(N)=0[/mm]
>
> FRED
> >
> > LG
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 So 23.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Seien a,b [mm]\in \IR^n[/mm] mit a<b.
> Zeigen Sie: [mm]\mu_{n}((a,b))[/mm] = [mm]\mu_{n}((a.b])[/mm]
Maße [mm] \mu [/mm] sind sigmaadditiv. Insbesondere gilt [mm] A\cap B=\emptyset\Rightarrow\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B). [/mm] Wenn [mm] B\subset [/mm] A, gilt mit [mm] C:=A\backslash [/mm] B, dass A= [mm] B\cup [/mm] C und [mm] B\cap C=\emptyset, [/mm] woraus [mm] \mu(A)=\mu(C)+\mu(B) [/mm] folgt. Wende das auf
A:=[a,b]:= [mm] \{(x_1,...,x_n)\in\IR^n|\forall{i=1,...,n}:a_i\le x_i\le b_i\}
[/mm]
B:=(a,b]:= [mm] \{(x_1,...,x_n)\in\IR^n|\forall{i=1,...,n}:a_i
und [mm] C:=A\backslash [/mm] B an.
Anmerkung: Wenn [mm] x\in [/mm] C, dann gilt [mm] a_i\le x_i\le b_i [/mm] für alle i und für mindestens ein i gilt [mm] a_i
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 So 23.01.2011 | | Autor: | martinii |
Deine Antwort kann ich nachvollziehen und verstehe es auch, aber ein Problem habe ich noch.
Bei dir ist A ein geschlossener Quader. Laut Aufgabenstellung haben wir aber keinen abg. Quader sondern einen Offenen.
Spielt das hier keine Rolle
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 So 23.01.2011 | | Autor: | gfm |
> Deine Antwort kann ich nachvollziehen und verstehe es auch,
> aber ein Problem habe ich noch.
>
> Bei dir ist A ein geschlossener Quader. Laut
> Aufgabenstellung haben wir aber keinen abg. Quader sondern
> einen Offenen.
> Spielt das hier keine Rolle
Du hast recht. Ändert aber nichts am Prinzip.
LG
gfm
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