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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:19 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Gegeben ist die Menge:
[mm] M=\{x\in\IR^3, a\le x_{1}\le b, x_{2}=x_{3}=0\}; [/mm] a,b [mm] \in \IR, [/mm] a<b
Zu zeigen ist, dass das Lebesgue-Maß dieser Menge gleich Null ist.
Da das Lebesgue-Maß das Volumen eines Körpers angibt (vor allem im 3-D das intuitive Volumen eines 3-D-Körpers), ist es klar, dass diese Menge das Maß 0 hat, weil die Menge ja nur aus "Strichen" besteht. Aber definiert haben wir das Lebesuge-Maß so:
m(]s,t])=t-s [mm] \forall s,t\in\IR [/mm] mit s<t - das ist allerdings definiert auf [mm] (\IR,B(\IR)). [/mm] Werden da dann in mehreren Dimensionen die Maße der einzelnen Dimensionen vielleicht multipliziert? Dann käme das ja hin...
Viele Grüße
Bastiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Das Lebesgue-Maß auf [mm] $(\IR^3,{\cal B}(\IR^3))$ [/mm] ist nach Konstruktion (oder Definition, je nachdem)das durch die Eigenschaft
[mm] $\mu_3(A_1 \times A_2 \times A_3) [/mm] = [mm] \mu_1(A_1) \cdot \mu_1(A_2) \cdot \mu_1(A_3)$
[/mm]
für alle [mm] $A_1,A_2,A_3 \in {\cal B}(\IR)$ [/mm] eindeutig bestimmte Maß auf [mm] $(\IR^3,{\cal B}(\IR^3)) [/mm] = [mm] (\IR \times \IR \times \IR, {\cal B}(\IR) \otimes {\cal B}(\IR) \otimes {\cal B}(\IR))$, [/mm] wobei [mm] $\mu_1$ [/mm] das (euch wohlvertraute) Lebesgue-Maß auf [mm] $(\IR, {\cal B}(\IR))$ [/mm] ist.
Daher gilt:
[mm] $\mu_3(M)$
[/mm]
$= [mm] \mu_3( [/mm] [a,b] [mm] \times \{0\} \times \{0\})$
[/mm]
$= [mm] \mu_1([a,b]) \cdot \mu_1(\{0\}) \cdot \mu_1(\{0\})$
[/mm]
$= (b-a) [mm] \cdot [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm] 0$
$= 0$.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> [mm]\mu_3(A_1 \times A_2 \times A_3) = \mu_1(A_1) \cdot \mu_1(A_2) \cdot \mu_1(A_3)[/mm]
> Daher gilt:
>
> [mm]\mu_3(M)[/mm]
>
> [mm]= \mu_3( [a,b] \times \{0\} \times \{0\})[/mm]
>
> [mm]= \mu_1([a,b]) \cdot \mu_1(\{0\}) \cdot \mu_1(\{0\})[/mm]
>
> [mm]= (b-a) \cdot 0 \cdot 0[/mm]
>
> [mm]= 0[/mm].
Ja, genau so hatte ich mir das erhofft, so hatte ich mir das nämlich auch vorgestellt. Aber da wir das Lebesgue-Maß so weit ich weiß nur auf [mm] (\IR, \cal B(\IR)) [/mm] definiert haben, weiß ich nicht, ob das so reicht, schließlich gibt es für diese Aufgabe ganze 5 Punkte wie für alle anderen auf diesem Blatt auch... Muss ich dann das Lebesgue-Maß dafür "konstruieren"? Wenn ja, wie fängt man denn da an?
Also, diese Frage ist wohl nicht ganz so wichtig, weil ich mir das ja soweit schon mal vorstellen kann. Aber falls du trotzdem noch Zeit hast, würde ich mich über eine Antwort freuen.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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Hi.
Ich erlaube mir mal, an stefans Statt zu antworten.
Wenn ihr diese Eigenschaft des Lebesgue-Maßes noch nicht bewiesen habt, wirst du sie wohl auch nicht verwenden dürfen.
Kennst du die Überdeckungscharakterisierung der Lebesguenullmengen?
Sie lautet:
Die Menge [mm] $M\subset \mathbb{R}^n$ [/mm] ist genau dann eine Nullmenge, wenn es zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] höchstens abzählbar viele abgeschlossene Intervalle [mm] $I_1,I_2,...$ [/mm] gibt, die M überdecken und deren Inhaltssumme [mm] $\sum |I_k|\leq \epsilon$ [/mm] ist.
Damit sollte sich ohne allzu große Schwierigkeiten beweisen lassen, dass [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] als Teilmenge des [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] eine Nullmenge ist, womit deine Aussage folgt, da jede Teilmenge einer Nullmenge eine Nullmenge ist.
Du kannst es ja mal auf diesem Weg probieren.
Gruß
Philipp
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