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| Aufgabe | | Berechne das Lebesgue-Maß des Zwischengraphen [mm] \{(x,y) \in \IR^2: 0 \le y*exp(x^2) -1 \le x \le 1 \} [/mm] |
Tja, soweit so gut. Anschaulich ist mir ja klar, was das Lebesgue-Maß ist, aber gibt es denn auch eine Formel, mit der man es in der Praxis auch berechnen kann? Mit der Infimum-Definition kann ich das nicht berechnen. Geht das nicht irgendwie mit einem Integral?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mo 30.01.2006 | | Autor: | DerHein |
Die Einfachste Lösung geht mit dem Satz von Fubini:
$M:= [mm] \{(x,y) \in \IR^2 : 0 \le y \cdot \exp(x^2) -1 \le x \le 1 \}$
[/mm]
[mm] $\mu(M) [/mm] = [mm] \integral_{\IR^2} 1_M d\mu [/mm] = [mm] \integral_{\IR} \integral_{\IR} 1_M [/mm] dy dx $
und das Integral $ [mm] \integral_{\IR} 1_M [/mm] dy $ ist für festes x einfach die Länge der Strecke von [mm] $y=1/\exp(x^2)$ [/mm] zu [mm] $y=x/(\exp(x^2)-1)$.
[/mm]
Wobei ich vermute, du hast bei der Aufgabenstellung einen Tippfehler drin...
so sihet das nämlich zihmlich ekelhaft aus das Zweite Integral auszurechnen.
mfg Hein
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Stimmt, es ist y*exp(-x²)
Aber wie genau sieht das Integral dann aus in diesem Fall? Ich habe immer noch nicht verstanden, wie genau man vorgehen muss...
Vielen Dank übrigens für deine schnelle Antwort!
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Hallo madde_dong,
gehe so vor, wie der hein es vorgeschlagen hat, das lässt sich dann auch relativ leicht ausrechnen:
im äußeren integral läuft $x$ von 0 bis 1, im inneren $y$ nur in dem bereich,der durch die mengenbedingung vorgegeben ist. das innere integral ist trivial berechenbar, und auch das äußere ist nicht schwer zu behandeln. Nur mut!
VG
Matthias
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Hallo,
erstmal vielen Dank für die Hilfe! So langsam verstehe ich, wie das funktioniert!
Ich habe mich jetzt also daran versucht, das Maß dieser Menge zu berechnen. Ich habe als Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{ \integral_{1/exp(-x²)}^{(x+1)/exp(-x²)}{1_M dy} dx}
[/mm]
Auf dem Weg komme ich dann zu
[mm] \integral_{0}^{1}{x*exp(-x²) dx} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2*e}- \bruch{1}{2}
[/mm]
Ist das richtig?
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hallo,
bei mir steht am ende $+1/2$ statt $-1/2$, was auch sinn macht, damit das ergebnis positiv ist... 
ansonsten:korrekt!
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mi 01.02.2006 | | Autor: | madde_dong |
Hallo Matthias,
danke für die schnelle Antwort! Du hast Recht, ich habe mich vertan. *schäm*
Aber ich weiß jetzt, wie es geht, danke für deine Hilfe!
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