Lebesgue-Integrierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \bruch{\log(x)}{x^2-1} [/mm] L-integrierbar auf [mm] \IR^+ [/mm] ist |
Hallo Leute!
Dafür sind ja im wesentlichen zwei Punkte zu zeigen, oder?
1. Stetigkeit: Die Stetigkeit steht nur in x=1 zur Debatte. Ansonsten werden ja einfach zwei stetige Funktionen miteinander multipliziert. Das muss ja stetig sein.
Untersucht man den Grenzwert in t=1
a) Rechtsseitig:
[mm] \limes_{t\rightarrow1}\bruch{\log(x)}{x^2-1}\overbrace{=}^{L'Hospital}
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow1}\bruch{1/x}{2x}=\limes_{t\rightarrow1}\bruch{1}{2x^2}=1/2
[/mm]
b) Linksseitiger Grenzwert identisch
[mm] \Rightarrow [/mm] Stetig
2. Beschränktheit
Hier fällt mir jetzt keine vernünftige L-integrierbare Funktion ein, mit [mm] f(x)\ge|\bruch{\log(x)}{x^2-1}|
[/mm]
Hat da jemand eine Idee? Und stimmt 1.?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Fr 18.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass [mm]\bruch{\log(x)}{x^2-1}[/mm] L-integrierbar auf
> [mm]\IR^+[/mm] ist
> Hallo Leute!
> Dafür sind ja im wesentlichen zwei Punkte zu zeigen,
> oder?
> 1. Stetigkeit: Die Stetigkeit steht nur in x=1 zur
> Debatte. Ansonsten werden ja einfach zwei stetige
> Funktionen miteinander multipliziert. Das muss ja stetig
> sein.
> Untersucht man den Grenzwert in t=1
> a) Rechtsseitig:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow1}\bruch{\log(x)}{x^2-1}\overbrace{=}^{L'Hospital}[/mm]
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow1}\bruch{1/x}{2x}=\limes_{t\rightarrow1}\bruch{1}{2x^2}=1/2[/mm]
> b) Linksseitiger Grenzwert identisch
> [mm]\Rightarrow[/mm] Stetig
> 2. Beschränktheit
> Hier fällt mir jetzt keine vernünftige L-integrierbare
> Funktion ein, mit [mm]f(x)\ge|\bruch{\log(x)}{x^2-1}|[/mm]
> Hat da jemand eine Idee?
> Und stimmt 1.?
Ja, das stimmt. Ist $f(x) [mm] :=\bruch{\log(x)}{x^2-1} [/mm] $ und $f(1):= 1/2$, so ist f auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] stetig.
Aber beschränkt ist f auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] nicht: [mm] $\limes_{x\rightarrow 0 +}f(x) [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] !!
Versuche mal die Aufgabe mit folgendem Satz zu lösen (falls Ihr diesen Satz hattet):
SATZ: f ist auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] L-integrierbar [mm] \gdw [/mm] das uneigentliche Riemannintegral [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] ist absolut konvergent.
Es ist [mm] $f(x)=\bruch{\log(x)}{x^2-1} \ge [/mm] 0 $ für $x [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$, [/mm] also mußt Du zeigen:
das uneigentliche Riemannintegral [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{\log(x)}{x^2-1} dx} [/mm] ist konvergent.
FRED
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort Fred!
Ich weiß, dass die Funktion nicht beschränkt ist, aber gäbe es eine Majorante, die L-integrierbar ist, dann wäre f doch auch L-integrierbar, oder?
Denn Dummerweise ist das Riemann-Integral von [mm] \bruch{log(x)}{x^2-1} [/mm] nicht ganz so einfach zu berechnen. Mathematica spuckt unangenehme Dinge aus, die wir in der Volesung noch nicht hatten...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Fr 18.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort Fred!
> Ich weiß, dass die Funktion nicht beschränkt ist, aber
> gäbe es eine Majorante, die L-integrierbar ist, dann wäre
> f doch auch L-integrierbar, oder?
> Denn Dummerweise ist das Riemann-Integral von
> [mm]\bruch{log(x)}{x^2-1}[/mm] nicht ganz so einfach zu berechnen.
Du sollst es auch gar nicht berechnen ! nur die Konvergenz sollst Du zeigen !
Spalte es auf: [mm] \integral_{0}^{\infty}= \integral_{0}^{1}+\integral_{1}^{\infty}
[/mm]
Für x [mm] \ge [/mm] 12 ist [mm] $e^{\wurzel{x}} \ge [/mm] x$, also $log(x) [mm] \le \wurzel{x}$
[/mm]
Für x [mm] \ge [/mm] 2 ist [mm] $x^2-1 \ge \bruch{1}{2}x^2$
[/mm]
Somit ist
[mm] $\bruch{log(x)}{x^2-1} \le \bruch{2}{x^{3/2}}$ [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 12
Das Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{2}{x^{3/2}}dx} [/mm] ist konvergent, also ist nach dem Majorantenkriterium auch das Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{log(x)}{x^2-1} dx} [/mm] konvergent
Jetzt versuche Dich mal in ähnlicher Weise an [mm] \integral_{0}^{1}
[/mm]
FRED
> Mathematica spuckt unangenehme Dinge aus, die wir in der
> Volesung noch nicht hatten...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:39 Fr 18.12.2009 | | Autor: | derdickeduke |
Hallo und ein zweites Mal danke für deinen Antwort Fred!
Der Grundgedanke ist mir klar, aber was soll folgendes?
> Spalte es auf: [mm]\integral_{0}^{\infty}= \integral_{0}^{1}+\integral_{1}^{\infty}[/mm]
>
> Für x [mm]\ge[/mm] 12 ist [mm]e^{\wurzel{x}} \ge x[/mm], also [mm]log(x) \le \wurzel{x}[/mm]
>
> Für x [mm]\ge[/mm] 2 ist [mm]x^2-1 \ge \bruch{1}{2}x^2[/mm]
Ich dachte das Integral reicht von 1 bis [mm] \infty. [/mm] Wieso genüdt es da, dass die beiden Funktionen, die du einsetzt erst ab [mm] x\ge2 [/mm] bzw. [mm] x\ge12 [/mm] Majoranten sind?
|
|
|
| |
|
Hallo,
Da man im Bereich [mm] 1\le x\le [/mm] 12 eine beschränkte Funktion über einen endlichen Bereich integriert (-> Rechteckmajorante) ist das Integral an der Stelle ebenfalls endlich, daher eine zu integrierende Majorante für [mm] x\ge [/mm] 12 zulässig.
lg
|
|
|
|
