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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Do 09.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
man definiert den Vektorraum der Lebesgue-integrierbaren Funktionen f: [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] und verbietet dabei [mm] \pm \infty. [/mm]
Das bedeutet ja nun, das die Menge der lebesgue-integrierbaren Funktionen nur genau dann ein Vektorraum ist, wenn man nur mit beschränkten Funktionen arbeitet und somit f(x)=+ [mm] \infty [/mm] oder g(x)=- [mm] \infty [/mm] vermeidet.
Nun habe ich in einem Buch gelesen, daß keine Einschränkung entsteht, obwohl man eben den Bereich einschränkt und [mm] \pm \infty [/mm] verbietet. Was genau soll mir dies sagen?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 09.09.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Regine!
Ich verstehe jetzt dein Problem nicht, da du es ja selber erläutert hast (wenn auch nicht ganz korrekt).
Normalerweise wird die Lebesgue-Integrierbarkeit und das Lebesgue-Integral für sogenannte numerische Funktionen (so heißen sie jedenfalls im BAUER, de Gruyter-Verlag):
$f: [mm] \IR^d \to \overline{\IR}$
[/mm]
definiert, die bezüglich der auf [mm] $\overline{\IR}=\IR \cup \{-\infty,+\infty\}$ [/mm] definierten [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] messbar sind.
Die Menge dieser Lebesgue-integrierbaren Funktionen bildet aber keinen Vektorraum, da für $g(x)=+ [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $f(x)=-\infty$ [/mm] für mindestens ein $x [mm] \in \IR^d$ [/mm] eine Funktion $f+g$ nicht sinnvoll definiert werden kann, so dass alle Vektorraumaxiome gelten.
Das Problem besteht nicht mehr, wenn man die reellwertigen Lebesgue-integrierbaren Funktionen betrachtet (und nicht notwendigerweise, wie du schreibst, die beschränkten Funktionen). Die reellwertigen Lebesgue-integrierbaren Funktionen $f : [mm] \IR^d \to \IR$ [/mm] bilden einen Vektorraum, und die beschränkten Funktionen bilden einen Unterraum davon.
Alles klar?
Liebe Grüße
Julius
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