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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mo 26.11.2007 | | Autor: | success |
Ich stelle ungern allgemeine Verständnisfragen, aber diesmal komme ich einfach nicht dahinter.
Ich kenne die lub-Norm so definiert: lub(A)=sup{||Ax|| : x [mm] \in K^n,||x||=1 [/mm] }.
Gut, || || ist eine bel. Vektornorm, also z.B die euklidsche oder die unendlich Norm. Ich multipliziere also Matrix A und Vektor x, erhalte einen neuen Vektor, wende meine Vektornorm an und erhalte einen Skalar.
Aber wovon nehme ich jetzt das Supremum und warum beschränke ich ||x|| auf 1?
lg success :)
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> Ich stelle ungern allgemeine Verständnisfragen, aber
> diesmal komme ich einfach nicht dahinter.
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> Ich kenne die lub-Norm so definiert: [mm] $\mathrm{lub}(A)=\sup\{||Ax|| : x \in K^n,||x||=1 \}$.
[/mm]
>
> Gut, || || ist eine bel. Vektornorm, also z.B die
> euklidsche oder die unendlich Norm. Ich multipliziere also
> Matrix A und Vektor x, erhalte einen neuen Vektor, wende
> meine Vektornorm an und erhalte einen Skalar.
> Aber wovon nehme ich jetzt das Supremum
eben: das Supremum jener Skalare (Längen der Bilder unter $A$ aller Vektoren mit Länge $1$).
> und warum beschränke ich ||x|| auf 1?
[mm] $x\mapsto [/mm] Ax$ ist eine lineare Abbildung. Also gilt für alle [mm] $\lambda\in \IR$: $\parallel [/mm] A [mm] (\lambda x)\parallel [/mm] = [mm] |\lambda|\cdot\parallel Ax\parallel$. [/mm] Daher wäre, ausser für die Nullabbildung/Nullmatrix $A=0$, das Supremum notwendigerweise immer [mm] $+\infty$.
[/mm]
Du musst Dir dies vielleicht so vorstellen: die Menge [mm] $\{Ax \mid\; \parallel x\parallel=1\}$ [/mm] ist das Bild der Einheitskugel unter der linearen Abbildung $A$. Dieses Bild ist also ein linear verzerrtes Bild der Einheitskugel, d.h. irgend etwas Ellipsiodartiges, eventuell von kleinerer Dimension als das Urbild, die Einheitskugel. Das fragliche Supremum ist das Supremum der Abstände von Punkten dieses ellipsiodartigen Bildes vom Koordinatenursprung (wenn wir uns der Einfachheit einmal erlauben, einen relativ anschaulichen, affinen Punktraum wie den [mm] $\IR^n$ [/mm] zugrunde zu legen).
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