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Hallo!
Ich wollte fragen, wie man überhaupt systematisch eine Laurentreihe mit Konvergenzradius $|z| > 2$ entwickelt.
Da die vorgegebene Funktion bei [mm] $z_{0} [/mm] = -2i$ einen Pol hat, könnte man also um den Nullpunkt entwickeln, dann käme das mit dem Konvergrenzradius hin?
Ich weiß nicht so richtig, was ich machen soll und wäre über Hilfe und eine Anleitung sehr erfreut 
Viele Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo steppenhahn,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo!
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> Ich wollte fragen, wie man überhaupt systematisch eine
> Laurentreihe mit Konvergenzradius [mm]|z| > 2[/mm] entwickelt.
> Da die vorgegebene Funktion bei [mm]z_{0} = -2i[/mm] einen Pol hat,
> könnte man also um den Nullpunkt entwickeln, dann käme das
> mit dem Konvergrenzraius hin?
Ja, das kommt hin.
Damit das hinkommt mußt Du das so schreiben:
[mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{\left(z+2i\right)^{2}}=\bruch{1}{z^{2}}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{2i}{z}\right)^{2}}[/mm]
> Ich weiß nicht so richtig, was ich machen soll und wäre
> über Hilfe und eine Anleitung sehr erfreut
>
> Viele Grüße, Stefan.
Gruß
MathePower
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Hallo!
Danke für deine Antwort, MathePower!
Ich habe also schonmal
[mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{\left(z+2i\right)^{2}}=\bruch{1}{z^{2}}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{2i}{z}\right)^{2}}[/mm]
Nun soll ich das ja wahrscheinlich in eine geometrische Reihe umwandeln, nur steht da im Nenner das mich störende Quadrat noch drumherum. Das einzige, was ich dann schreiben könnte wäre:
[mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{z^{2}}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{2i}{z}\right)^{2}} = \bruch{1}{z^{2}}*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}\right)^{2}[/mm]
Was mache ich jetzt? Das Cauchy-Produkt anwenden?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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Hallo steppenhahn,
> Hallo!
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> Danke für deine Antwort, MathePower!
> Ich habe also schonmal
>
> [mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{\left(z+2i\right)^{2}}=\bruch{1}{z^{2}}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{2i}{z}\right)^{2}}[/mm]
>
> Nun soll ich das ja wahrscheinlich in eine geometrische
> Reihe umwandeln, nur steht da im Nenner das mich störende
> Quadrat noch drumherum. Das einzige, was ich dann schreiben
> könnte wäre:
>
> [mm]f\left(z\right)=\bruch{1}{z^{2}}*\bruch{1}{\left(1+\bruch{2i}{z}\right)^{2}} = \bruch{1}{z^{2}}*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}\right)^{2}[/mm]
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> Was mache ich jetzt? Das Cauchy-Produkt anwenden?
Das siehst Du vollkommen richtig.
> Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
Gruß
MathePower
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Also hätte ich dann:
[mm] $f\left(z\right)= \bruch{1}{z^{2}}*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}\right)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{k}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{n}*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k-n}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=-\infty}^{0}\bruch{-(k+1)}{(-2i)^{k}}*z^{k} [/mm] = [mm] \sum_{k=-\infty}^{-2}\bruch{-(k+3)}{(-2i)^{k+2}}*z^{k}$
[/mm]
Ist das so ok  ?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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Hallo steppenhahn,
> Also hätte ich dann:
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> [mm]f\left(z\right)= \bruch{1}{z^{2}}*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}\right)^{2} = \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{k}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{n}*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k-n}\right) = \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k} = \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=-\infty}^{0}\bruch{-(k+1)}{(-2i)^{k}}*z^{k} = \sum_{k=-\infty}^{-2}\bruch{-(k+3)}{(-2i)^{k+2}}*z^{k}[/mm]
Bis hierhin ist alles ok:
[mm]f\left(z\right)= \bruch{1}{z^{2}}*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}\right)^{2} = \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{k}\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{n}*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k-n}\right) = \bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}[/mm]
Jetzt wird das umgeschrieben:
[mm]\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-\bruch{2i}{z}\right)^{k}=\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-2i\right)^{k}*z^{-k}[/mm]
Definieren wir nun [mm]l:=-k[/mm], so läuft l von [mm]-\infty[/mm] bis 0.
[mm]l=-k \Rightarrow k=-l[/mm]
Dann folgt:
[mm]\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-2i\right)^{k}*z^{-k}=\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{l=-\infty}^{0}(-l+1)*\left(-2i\right)^{-l}*z^{l}=\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{l=-\infty}^{0}\bruch{1-l}{\left(-2i\right)^{l}}*z^{l}[/mm]
[mm]\bruch{1}{z^{2}}*\sum_{l=-\infty}^{0}(-l+1)*\left(-2i\right)^{-l}*z^{l}=\sum_{l=-\infty}^{0}(-l+1)*\left(-2i\right)^{-l}*z^{l-2}[/mm]
Definieren wir [mm]n:=l-2[/mm] so läuft n von [mm]-\infty[/mm] bis -2.
[mm]n=l-2 \Rightarrow l=n+2[/mm]
So erhalten wir
[mm]\sum_{l=-\infty}^{0}(-l+1)*\left(-2i\right)^{-l}*z^{l-2}=\sum_{n=-\infty}^{-2}(-n-2+1)*\left(-2i\right)^{-n-2}*z^{n}[/mm]
[mm]=\sum_{n=-\infty}^{-2}(-n-1)*\left(-2i\right)^{-n-2}*z^{n}=\sum_{n=-\infty}^{-2}\bruch{-\left(n+1\right)}{\left(-2i\right)^{n+2}}*z^{n}[/mm]
>
> Ist das so ok ?
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> Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
Gruß
MathePower
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Vielen Dank für deine Hilfe MathePower, hat mir sehr geholfen !!!
Grüße, Stefan.
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