Laurentreihen einer Funktion < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Entwickeln Sie die Funktion
[mm] f(z)=\bruch{3z-12}{z^2-7z+10}, [/mm] z [mm] \in \IC \setminus \{ 2,5 \}
[/mm]
in eine Laurentreihe für die folgenden Gebiete:
(a) [mm] \{ z \in \IC | \left|z\right| < 2 } [/mm] (um [mm] z_{0}=0)
[/mm]
(b) [mm] \{ z \in \IC | \left|z\right| > 5 } [/mm] (um [mm] z_{0}=0)
[/mm]
(c) [mm] \{ z \in \IC | 2 < \left|z\right| < 5 } [/mm] (um [mm] z_{0}=0)
[/mm]
(d) [mm] \{ z \in \IC \setminus {2} | \left|z-2\right| < 3 } [/mm] (um [mm] z_{0}=2)
[/mm]
(e) [mm] \{ z \in \IC \setminus {5} | \left|z-5\right| < 5 } [/mm] (um [mm] z_{0}=5) [/mm] |
So, mein Ansatz war nun folgender:
Zunächst habe ich die Funktion über eine PBZ wie folgt dargestellt:
[mm] f(z)=\bruch{2}{z-2}+\bruch{1}{z-5}
[/mm]
In Teil a) habe ich die Ungleichung des Gebietes zu [mm] \left|\bruch{z}{2}\right|< [/mm] 1 umgestellt, wonach ich den ersten Summanden aus f(z) mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] erweitert habe und den neuen Bruch als geometrische Reihe darstellen konnte:
[mm] \bruch{1}{\bruch{z}{2}-1}=-\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{2})^k
[/mm]
Damit habe ich ja schonmal meinen Nebenteil der Laurentreihe, da der Entwicklungspunkt [mm] z_{0}=0 [/mm] ist.
Wie verfahre ich aber nun mit dem zweiten Summanden? Ich kann ja entweder [mm] \bruch{1}{z-5} [/mm] = [mm] (z-5)^{-1} [/mm] schreiben, womit ich den Term für k=-1 des Hauptteils der Laurentreihe hätte (**) (mit Residuum [mm] a_{-1}=1\not=0 [/mm] )
Andererseits kann ich [mm] \left|z\right|<2 [/mm] ja auch als [mm] \left|z\right|<5 [/mm] abschätzen, woraus ich [mm] \left|\bruch{z}{5}\right| [/mm] erhalte und den zweiten Summanden auch als geometrische Reihe darstellen kann, womit aber mein Hauptteil (bzw. der eine Summand des Hauptteils, den ich habe) verschwindet. (*)
Ist die Laurentreihe an dieser Stelle nun ohne (*) Hauptteil oder nicht (**)?
Analog geht's dann weiter:
(b) [mm] \left|z\right|>5 \gdw \bruch{5}{\left|z\right|}<1 [/mm] <-- gilt da eigentlich die Umkehrung der Ordnungsrelation bei Kehrwert? Immerhin nehme ich da den Kehrwert eines Betrages...
[mm] \Rightarrow f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{z}[2(\bruch{2}{z})^{k}+(\bruch{5}{z})^{k}]
[/mm]
(c) [mm] (2<\left|z\right|) \wedge (\left|z\right|<5) \gdw (\bruch{2}{\left|z\right|}<1) \wedge (\bruch{\left|z\right|}{5}<1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{z}*(\bruch{2}{z})^k+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{5}*(\bruch{z}{5})^{k}
[/mm]
Mich verwundert's hier hauptsächlich, dass ich in keiner Teilaufgabe einen Hauptteil rausbekomme, obwohl die Gebiete ja verschieden sind, sind die Singularitäten wirklich in allen drei Fällen hebbar?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Darillian,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Entwickeln Sie die Funktion
> [mm]f(z)=\bruch{3z-12}{z^2-7z+10},[/mm] z [mm]\in \IC \setminus \{ 2,5 \}[/mm]
>
> in eine Laurentreihe für die folgenden Gebiete:
> (a) [mm]\{ z \in \IC | \left|z\right| < 2 }[/mm] (um [mm]z_{0}=0)[/mm]
> (b) [mm]\{ z \in \IC | \left|z\right| > 5 }[/mm] (um [mm]z_{0}=0)[/mm]
> (c) [mm]\{ z \in \IC | 2 < \left|z\right| < 5 }[/mm] (um [mm]z_{0}=0)[/mm]
> (d) [mm]\{ z \in \IC \setminus {2} | \left|z-2\right| < 3 }[/mm]
> (um [mm]z_{0}=2)[/mm]
> (e) [mm]\{ z \in \IC \setminus {5} | \left|z-5\right| < 5 }[/mm]
> (um [mm]z_{0}=5)[/mm]
> So, mein Ansatz war nun folgender:
> Zunächst habe ich die Funktion über eine PBZ wie folgt
> dargestellt:
> [mm]f(z)=\bruch{2}{z-2}+\bruch{1}{z-5}[/mm]
> In Teil a) habe ich die Ungleichung des Gebietes zu
> [mm]\left|\bruch{z}{2}\right|<[/mm] 1 umgestellt, wonach ich den
> ersten Summanden aus f(z) mit [mm]\bruch{1}{2}[/mm] erweitert habe
> und den neuen Bruch als geometrische Reihe darstellen
> konnte:
>
> [mm]\bruch{1}{\bruch{z}{2}-1}=-\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{z}{2})^k[/mm]
> Damit habe ich ja schonmal meinen Nebenteil der
> Laurentreihe, da der Entwicklungspunkt [mm]z_{0}=0[/mm] ist.
> Wie verfahre ich aber nun mit dem zweiten Summanden? Ich
> kann ja entweder [mm]\bruch{1}{z-5}[/mm] = [mm](z-5)^{-1}[/mm] schreiben,
> womit ich den Term für k=-1 des Hauptteils der
> Laurentreihe hätte (**) (mit Residuum [mm]a_{-1}=1\not=0[/mm] )
>
> Andererseits kann ich [mm]\left|z\right|<2[/mm] ja auch als
> [mm]\left|z\right|<5[/mm] abschätzen, woraus ich
> [mm]\left|\bruch{z}{5}\right|[/mm] erhalte und den zweiten Summanden
> auch als geometrische Reihe darstellen kann, womit aber
> mein Hauptteil (bzw. der eine Summand des Hauptteils, den
> ich habe) verschwindet. (*)
>
> Ist die Laurentreihe an dieser Stelle nun ohne (*)
> Hauptteil oder nicht (**)?
Die Laurentreihe ist hier ohne Hauptteil.
>
> Analog geht's dann weiter:
> (b) [mm]\left|z\right|>5 \gdw \bruch{5}{\left|z\right|}<1[/mm] <--
> gilt da eigentlich die Umkehrung der Ordnungsrelation bei
> Kehrwert? Immerhin nehme ich da den Kehrwert eines
> Betrages...
> [mm]\Rightarrow f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{z}[2(\bruch{2}{z})^{k}+(\bruch{5}{z})^{k}][/mm]
Hier ist ein Vorzeichenfehler passiert:
[mm]f(z)=\blue{-}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{z}[2(\bruch{2}{z})^{k}+(\bruch{5}{z})^{k}][/mm]
>
> (c) [mm](2<\left|z\right|) \wedge (\left|z\right|<5) \gdw (\bruch{2}{\left|z\right|}<1) \wedge (\bruch{\left|z\right|}{5}<1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]f(z)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{z}*(\bruch{2}{z})^k+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{5}*(\bruch{z}{5})^{k}[/mm]
Dito hier:
[mm]f(z)=\blue{-}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{z}*(\bruch{2}{z})^k+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{5}*(\bruch{z}{5})^{k}[/mm]
>
> Mich verwundert's hier hauptsächlich, dass ich in keiner
> Teilaufgabe einen Hauptteil rausbekomme, obwohl die Gebiete
> ja verschieden sind, sind die Singularitäten wirklich in
> allen drei Fällen hebbar?
Nein, die Singularitäten sind nicht hebbar.
In Teilaufgabe b) hast Du nur einen Hauptteil.
In Teilaufgabe c) hast Du sowhl einen Hauptteil
als auch einen Nebenteil.
>
> Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Hmm, so richtig verstehe ich nicht, wieso ich in Teil (b) einen Vorzeichenfehler gemacht habe:
Wenn ich die Relation [mm] \bruch{5}{\left|z\right|}<1 [/mm] kenne, so möchte ich doch den Bruch [mm] \bruch{1}{z-5} [/mm] dahin umformen, erweitere also mit [mm] \bruch{1}{z}:
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1}{z}}{\bruch{z-5}{z}}=\bruch{\bruch{1}{z}}{1-\bruch{5}{z}}
[/mm]
Somit habe ich doch schon die für die geometrische Reihe benötigte Form und muss nicht mehr mit (-1) erweitern, damit ich im Nenner die Summanden vertauschen darf.
Wenn ich dann noch den zweiten Bruch mit [mm] \bruch{1}{z} [/mm] erweitere, erhalte ich [mm] \bruch{\bruch{2}{z}}{1-\bruch{2}{z}}, [/mm] was ich alles zu
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{2}{z})^{k+1}+\bruch{1}{z}(\bruch{5}{z})^{k}
[/mm]
zusammenfassen kann.
Damit habe ich in der (b) keinen Hauptteil, da ich ja keine Summe habe die von k=-1 bis [mm] -\infty [/mm] läuft...
|
|
|
| |
|
Hallo Darillian,
> Hmm, so richtig verstehe ich nicht, wieso ich in Teil (b)
> einen Vorzeichenfehler gemacht habe:
> Wenn ich die Relation [mm]\bruch{5}{\left|z\right|}<1[/mm] kenne,
> so möchte ich doch den Bruch [mm]\bruch{1}{z-5}[/mm] dahin
> umformen, erweitere also mit [mm]\bruch{1}{z}:[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{z}}{\bruch{z-5}{z}}=\bruch{\bruch{1}{z}}{1-\bruch{5}{z}}[/mm]
> Somit habe ich doch schon die für die geometrische Reihe
> benötigte Form und muss nicht mehr mit (-1) erweitern,
> damit ich im Nenner die Summanden vertauschen darf.
> Wenn ich dann noch den zweiten Bruch mit [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
> erweitere, erhalte ich
> [mm]\bruch{\bruch{2}{z}}{1-\bruch{2}{z}},[/mm] was ich alles zu
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{2}{z})^{k+1}+\bruch{1}{z}(\bruch{5}{z})^{k}[/mm]
> zusammenfassen kann.
Im Fall, daß Du [mm]\vmat{z} > 5[/mm] hast,
ist alles, was Du schreibst, richtig.
Nur im Fall [mm]\vmat{z} < 5[/mm] hast Du:
[mm]\bruch{1}{z-5}=\bruch{-1}{5-z}=-\bruch{1}{5}*\bruch{1}{1-\bruch{z}{5}}[/mm]
> Damit habe ich in der (b) keinen Hauptteil, da ich ja
> keine Summe habe die von k=-1 bis [mm]-\infty[/mm] läuft...
Das machst du also am Laufindex der Summe fest.
Die berechnete Reihe kannst Du doch umschreiben:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{2}{z})^{k+1}+\bruch{1}{z}(\bruch{5}{z})^{k}=\summe_{l=-\infty}^{-1}{}2^{-l}*z^{l}+5^{-l-1}z^{l}[/mm]
Damit gibt es negative Potenzen und somit einen Hauptteil.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Oh nein, wie doof, ich muss die geometrische Reihe ja noch auf die Form der Laurentreihe bringen, sprich auf [mm] (z-z_{0})^{k}, [/mm] das hatte ich total vergessen!
Vielen Dank für die Aufklärung, der Rest der Aufgabe wird denke ich nun klappen :)
Gute Nacht! ;)
|
|
|
| |
|
Hallo Darillian,
> Oh nein, wie doof, ich muss die geometrische Reihe ja noch
> auf die Form der Laurentreihe bringen, sprich auf
> [mm](z-z_{0})^{k},[/mm] das hatte ich total vergessen!
> Vielen Dank für die Aufklärung, der Rest der Aufgabe
> wird denke ich nun klappen :)
>
> Gute Nacht! ;)
Gute Nacht.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
