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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Johman |
hi bin jetzt etwas verwirrt,was laurentreihen betrifft und hoffe ihr könnt mir mal wieder helfen :)
also ich kann doch laut formel die laurentreihe um jeden beliebigen punkt entwickeln.sinn machen tut es ja logischwerweise nur um singularitäten,da die funktion ja überall sonst holomorph ist,also in eine taylorreihe entwickelbar,das stimmt doch soweit oder?
wie gehe ich zum beispiel nun bei der funktion [mm] \bruch{sin (z)}{i+z} [/mm] vor.
meine singularität liegt ja im punkt -i vor und ist pol 1. ordnung wie ich mit julius´ hilfe schon festgestellt hatte. wie stelle ich nun den hauptteil auf?ist der nicht genau das residuum [mm] res_{c} [/mm] f?und wie entwickle ich den sinus um -i für den nebenteil ?etwa mit taylor?
gruss johannes
habe diese frage so ähnlich schon mal gestellt (siehe offene fragen) und würde die alte offene frage gerne löschen, weiss aber nicht wie :(
habe es der verständlichkeit halber nochmal neu formulieren wollen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Johmann!
Deine Überlegungen stimmen soweit. 
Und jetzt geht es -wie ich aber auch schon verraten hatte- mit dem Additionstheorem weiter.
Schreibe im Zähler:
[mm] $\sin(z) [/mm] = [mm] \sin(z+i-i) [/mm] = [mm] \sin(z+i)\cos(-i) [/mm] + [mm] \cos(z+i)\sin(-i)$
[/mm]
und entwickle beides in die Taylorreihe um $-i$.
Beispiel:
[mm] $\sin(z+i) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} (z+i)^{2k+1}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Johman |
ahh super dank dir.jetzt verstehe ich.hatte den schritt mit dem additionstheorem nicht verstanden.
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