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| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion [mm] \var{f(z)}=( \bruch{\pi}{\sin{(\pi z)}} )^2 [/mm] in [mm] z=k\in\IZ [/mm] in ihre Laurent-Reihe. |
Hallo Forum.
Mich interessiert obige Aufgabe. Alles was ich mir bis jetzt dazu gedacht habe, ist folgendes:
[mm] \sin(\pi z)=\sin(\pi(z-k)+\pi k)=\sin(\pi(z-k))\cos(\pi k)+\cos(\pi(z-k))\sin(\pi k)=(-1)^k\cdot\sin(\pi(z-k))
[/mm]
und das jetzt vielleicht in eine Potenzreihe entwickeln, ist noch möglich aber spätestens dann weiß ich nicht ob das was bringt und/oder wie es weitergeht. Für Hilfe wäre ich dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Fr 18.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Entwickeln Sie die Funktion [mm]\var{f(z)}=( \bruch{\pi}{\sin{(\pi z)}} )^2[/mm]
> in [mm]z=k\in\IZ[/mm] in ihre Laurent-Reihe.
> Hallo Forum.
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> Mich interessiert obige Aufgabe. Alles was ich mir bis
> jetzt dazu gedacht habe, ist folgendes:
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> [mm]\sin(\pi z)=\sin(\pi(z-k)+\pi k)=\sin(\pi(z-k))\cos(\pi k)+\cos(\pi(z-k))\sin(\pi k)=(-1)^k\cdot\sin(\pi(z-k))[/mm]
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> und das jetzt vielleicht in eine Potenzreihe entwickeln,
> ist noch möglich aber spätestens dann weiß ich nicht ob das
> was bringt und/oder wie es weitergeht. Für Hilfe wäre ich
> dankbar.
Du hast also schon mal ausgerechnet, dass die gesuchte Laurentreihe für alle [mm]k\in\IZ[/mm] die gleichen Koeffizienten hat. Damit musst du die Reihe nur um z=0 entwickeln. Für die Reihe selbst hilft dir die Identität
[mm] \bruch{1}{\sin^2 z} = - \bruch{d}{dz} \cot z [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
Das ist schonmal gut, dass ich die Reihe nur in [mm] \var{z}=0 [/mm] entwickeln muss. Ansonsten gilt noch: [mm] f(z)=-\bruch{d}{dz}\pi\cot{(\pi z)}
[/mm]
Allerdings fehlt mir immernoch die richtige Idee, um mit diesem Tipp etwas anfangen zu können. Der Kotangens lässt ich natürlich als Laurentreihe darstellen, allerdings finde ich dafür immer nur die ersten errechneten Glieder und keine Summenformeln. Also ich brauch noch nen Tipp. 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Mr.Teutone |
Gut, dann Danke für deine Hilfe. Ich finde die Lösung zwar komisch, vor allem, dasie als Teilaufgabe scheinbar kein Zusammenhang zu den anderen hat, aber richtig ist richtg.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Mo 21.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gut, dann Danke für deine Hilfe. Ich finde die Lösung zwar
> komisch, vor allem, dasie als Teilaufgabe scheinbar kein
> Zusammenhang zu den anderen hat, aber richtig ist richtg.
Was sind denn die anderen Teilaufgaben?
Ich habe noch auf derselben Seite im Abramowitz/Stegun gibt's die Partialbruchzerlegung 4.3.92 für [mm]\csc^2 z=\bruch{1}{\sin^{2}z}[/mm] gefunden, aus der folgt:
[mm] f(z)=\left(\bruch{\pi}{\sin(\pi z)}\right)^2 = \summe_{k=-\infty}^{+\infty} \bruch{1}{(z-k)^2} [/mm]
Also ist die Funktion f(z) genau diejenige, die an allen ganzen Zahlen einen Pol der Ordnung 2 hat.
Viele Grüße
Rainer
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Abramowitz und Stegun, Formel 4.3.70