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| Aufgabe | | Mn bestimme die Laurententwicklung von [mm] f(z)=\bruch{1}{z(z-1)(z-2)} [/mm] in den drei Ggebieten, die durch 0<|z|<1, 1<|z|<2 bzw. 2<|z| beschrieben werden. |
Hallo allerseits.
Ich sitze an der Aufgabe, und denke ich habe den großen Teil schon geschafft. Aber an einer Stelle komme ich nicht weiter.
Erst mal was ich bisher habe:
Mit Partialbruchzerlegung habe ich die Funktion umgeschrieben, um dann die geometrische Reihe zu verwenden.
[mm] f(z)=\bruch{1}{z(z-1)(z-2)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2z} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(z-2)}
[/mm]
Diese drei Gebiete, die in der Aufgabenstellung gegeben sind, bedeuten doch nur, das ich die Laurententwicklung um diese drei Punkte (die Singularitäten) 0,1 und 2 entwickeln muss, oder?
1) Laurentreihe bei 0 entwickeln:
f(z) = [mm] \bruch{1}{2z} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2(z-2)}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}\bruch{1}{z-0} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (z-0)^{n}+ \bruch{1}{2(z-2)}
[/mm]
Nebenrechnung zum dritten Summanden:
[mm] \bruch{1}{2(z-2)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\bruch{1}{z-2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\bruch{1}{2} \bruch{1}{\bruch{z}{2}-1} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4} \bruch{1}{1-\bruch{z}{2}} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{z-0}{2})^{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
f(z) = [mm] \bruch{1}{2}\bruch{1}{z-0} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(z-0)^{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{z-0}{2})^{n}
[/mm]
Wenn man jetzt ein paar Summanden ausschreibt, und die zusammengehördenden [mm] (z-0)^{n} [/mm] aus klammert, folgt die Laurentreihe.
Das hat eigentlich noch ganz gut geklappt, aber bei der Laurententwicklung um 1 kommen jetzt deine Probleme. Ich weiß nicht was ich mit dem ersten Summanden [mm] \bruch{1}{2z} [/mm] anfangen soll.
Ich muss ja alles irgendwie auf die Form [mm] (z-1)^{n} [/mm] bringen. Der mittlere Summand ist ja klar, und den letzten habe ich mir auch gingebogen:
[mm] \bruch{1}{2(z-2)}= \bruch{1}{2}\bruch{1}{z-2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}\bruch{1}{2-z} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}\bruch{1}{1-z+1} -\bruch{1}{2}\bruch{1}{1-(z-1)} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} (z-1)^{n}
[/mm]
Aber es mache ich mit [mm] \bruch{1}{2z}?? [/mm] Ich habe keine möglichkeit gefunden, das irgendwie so zu ergänzen, das ich wieder auf eine geometrische Reihe kommen.
Es wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.
Für die Laurentreihe um die Singularität 2 hab ich noch keine Ergebnisse, aber wird es auf ein ähnliches Problem mit dem summanden [mm] \bruch{1}{z-1} [/mm] hinauslaufen.
Vielen Danke schonmal für die Hilfe.
Viele Grüße,
Sara
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Di 29.05.2007 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo,
ich bin inzwischen selbst auf die Lösung gekommen.
Mein Fehler war, dass ich immer auf [mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] umformen wollte, weil ich nicht musste, das [mm] \bruch{1}{1+z}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}z^{n}. [/mm] Damit wird es viel erinfacher.
Viele Grüße,
Sara
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:18 Mi 30.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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