Laurententwicklung um unendlic < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Mi 30.05.2012 | | Autor: | nhard |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Gegeben ist die auf $\mathbb{C}\backslash\{0,i\}$ holomorphe Funktion
$$f(z)=\frac{1}{z(z-i)^2}$$
Ermitteln sie die Laurentreihe um das Gebiet $K_{\infty}(1,\infty):=\{z:0<|z|<\infty\}$ um den Punkt $z_0=\infty$ |
Hallo :)
Ich wüsste gerne, wie man diese Aufgabe richtig löst.
Meine Idee ist:
Ersetze $\xi=\bruch{1}{z}$. Dann müsste man doch die Funtion jetzt um $\xi=0$ entwickeln oder?
Das wäre dann bei mir:
$\bruch{1}{z(z-i)^2}&=\xi\bruch{1}{(\bruch{1}{\xi}-i)^2}=\xi^3\bruch{1}{(1-i\xi)^2}=\xi^3\left(\sum_{n=0}^{\infty}(i\xi)^n}\right)^2$
$=\xi^3\sum_{n,m=0}^{\infty}\left(\xi i\right)^{n+m}=\xi^3\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(i\xi)^k=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)i^k\xi^{k+3}$
Ist das soweit richtig? Kann ich vor allem das Quadrat der Summe so umschreiben? Ich würde jetzt eigentlich nur noch das $\xi$ durch $z$ ersetzen..
Lieben Dank schonmal für euere Mühe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:43 Do 31.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die auf [mm]\mathbb{C}\backslash\{0,i\}[/mm] holomorphe
> Funktion
> [mm]f(z)=\frac{1}{z(z-i)^2}[/mm]
> Ermitteln sie die Laurentreihe um das Gebiet
> [mm]K_{\infty}(1,\infty):=\{z:0<|z|<\infty\}[/mm]
Du meinst sicher [mm]K_{\infty}(1,\infty):=\{z:1<|z|<\infty\}[/mm]
> um den Punkt
> [mm]z_0=\infty[/mm]
> Hallo :)
>
> Ich wüsste gerne, wie man diese Aufgabe richtig löst.
> Meine Idee ist:
> Ersetze [mm]\xi=\bruch{1}{z}[/mm]. Dann müsste man doch die
> Funtion jetzt um [mm]\xi=0[/mm] entwickeln oder?
> Das wäre dann bei mir:
>
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}&=\xi\bruch{1}{(\bruch{1}{\xi}-i)^2}=\xi^3\bruch{1}{(1-i\xi)^2}=\xi^3\left(\sum_{n=0}^{\infty}(i\xi)^n}\right)^2[/mm]
> [mm]=\xi^3\sum_{n,m=0}^{\infty}\left(\xi i\right)^{n+m}=\xi^3\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(i\xi)^k=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)i^k\xi^{k+3}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Ja
> Kann ich vor allem das Quadrat der
> Summe so umschreiben?
Ja, mit dem Cauchyprodukt kommt das raus.
Die Entwicklong gilt für [mm] |\xi|<1
[/mm]
> Ich würde jetzt eigentlich nur noch
> das [mm]\xi[/mm] durch [mm]z[/mm] ersetzen..
Nein, durch 1/z
FRED
>
> Lieben Dank schonmal für euere Mühe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:19 Do 31.05.2012 | | Autor: | nhard |
Vielen Dank für die Antwort!
Das es sowas wie das Cauchyprodukt gibt vergess ich ja so schnell....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Do 31.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Antwort!
> Das es sowas wie das Cauchyprodukt gibt vergess ich ja so
> schnell....
Wie hast Du denn [mm] (\sum_{n=0}^{\infty}(i\xi)^n)^2 [/mm] berechnet ?
FRED
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