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| Aufgabe | | Bestimmen Sie Haupt- und Nebenteile der Laurent-Reihe von [mm]f : \IC \backslash \{ \pm i , 0 \} \to \IC[/mm] mit [mm] f(z) = \bruch{1}{z(1+z^{2})} \quad z \in \IC \backslash \{ \pm i , 0 \}[/mm] für [mm] V = V_{0,1}(0) [/mm] und [mm] V = V_{1,\infty}(0) [/mm]. |
Hallo zusammen,
also bei uns ist [mm] V = V_{r,R}(z_{0}) = \{z \in \IC : r < |z-z_{0}| < R \} [/mm] die Kreisscheibe mit kleinem Radius [mm]r[/mm] und großem Radius [mm]R[/mm] um [mm]z_{0}[/mm].
Die Laurent-Reihe auf [mm]V[/mm] selbst ist [mm] \summe_{\nu=-\infty}^{\infty} \hat f_{V}(\nu)(z-z_{0})^{\nu} [/mm] mit [mm] \hat f_{V}(\nu) = \bruch{1}{2\pi i} \integral_{|\zeta-z_{0}|=\lambda}^{}{\bruch{f(\zeta)}{(\zeta - z_{0})^{k+1}} d\zeta} \quad \lambda \in (r,R)[/mm].
Für [mm] V = V_{0,1}(0) [/mm] habe ich zuerst versucht die Laurent-Koeffizienten durch Berechnung des Integrals zu bestimmen, bin dabei aber in uferlose Gleichungen gelaufen.
Deswegen habe ich versucht, direkt die Reihenentwicklung von [mm]f(z)[/mm] zu bestimmen, um so den Haupt- und Nebenteil einfach abzulesen.
Es ist [mm] f(z) = \bruch{1}{z(1+z^{2})} = \bruch{1}{z} \bruch{1}{1+z^{2}} = \bruch{1}{z} \bruch{1}{1- (-z^{2})} = \bruch{1}{z}\summe_{\nu=0}^{\infty}(-1)^{\nu}z^{2\nu} = \summe_{\nu=0}^{\infty}(-1)^{\nu}z^{2\nu -1} = \summe_{\nu=-1}^{\infty}a_{\nu}z^{\nu}[/mm]
mit [mm] a_{\nu}=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } \nu \in 2\IZ \\ -1, & \mbox{falls } \nu \in 4\IZ+1 \\ 1, & \mbox{falls } \nu \in 4\IZ-1 \end{cases} [/mm].
Also ist der Hauptteil [mm]\bruch{1}{z}[/mm].
Ist das denn so richtig? Ich finde meine Folge [mm] a_{\nu} [/mm] etwas skuril.
Für [mm] V = V_{1,\infty}(0) [/mm] steht mir leider die geometrische Reihe nicht zur Verfügung und die Integrale laufen auch hier auf häßliche Gleichungen. Wie könnte man dort ansetzen?
Und vllt nebenbei, angenommen die obige Laurent-Reihe ist richtig, dann folgt doch aus ihr, das [mm] f(z) [/mm] einen Pol der Ordnung 1 an [mm]z=0[/mm] hat?
MfG und danke schon mal
P.S: Gibt es eine Vereinbarung, wann Variablen mit griechischen und wann mit lateinischen Buchstaben bezeichnet werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Mo 04.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie Haupt- und Nebenteile der Laurent-Reihe von [mm]f : \IC \backslash \{ \pm i , 0 \} \to \IC[/mm]
> mit [mm]f(z) = \bruch{1}{z(1+z^{2})} \quad z \in \IC \backslash \{ \pm i , 0 \}[/mm]
> für [mm]V = V_{0,1}(0)[/mm] und [mm]V = V_{1,\infty}(0) [/mm].
> Hallo
> zusammen,
> also bei uns ist [mm]V = V_{r,R}(z_{0}) = \{z \in \IC : r < |z-z_{0}| < R \}[/mm]
> die Kreisscheibe mit kleinem Radius [mm]r[/mm] und großem Radius [mm]R[/mm]
> um [mm]z_{0}[/mm].
> Die Laurent-Reihe auf [mm]V[/mm] selbst ist
> [mm]\summe_{\nu=-\infty}^{\infty} \hat f_{V}(\nu)(z-z_{0})^{\nu}[/mm]
> mit [mm]\hat f_{V}(\nu) = \bruch{1}{2\pi i} \integral_{|\zeta-z_{0}|=\lambda}^{}{\bruch{f(\zeta)}{(\zeta - z_{0})^{k+1}} d\zeta} \quad \lambda \in (r,R)[/mm].
>
> Für [mm]V = V_{0,1}(0)[/mm] habe ich zuerst versucht die
> Laurent-Koeffizienten durch Berechnung des Integrals zu
> bestimmen, bin dabei aber in uferlose Gleichungen
> gelaufen.
> Deswegen habe ich versucht, direkt die Reihenentwicklung
> von [mm]f(z)[/mm] zu bestimmen, um so den Haupt- und Nebenteil
> einfach abzulesen.
> Es ist [mm]f(z) = \bruch{1}{z(1+z^{2})} = \bruch{1}{z} \bruch{1}{1+z^{2}} = \bruch{1}{z} \bruch{1}{1- (-z^{2})} = \bruch{1}{z}\summe_{\nu=0}^{\infty}(-1)^{\nu}z^{2\nu} = \summe_{\nu=0}^{\infty}(-1)^{\nu}z^{2\nu -1} = \summe_{\nu=-1}^{\infty}a_{\nu}z^{\nu}[/mm]
>
> mit [mm]a_{\nu}=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } \nu \in 2\IZ \\ -1, & \mbox{falls } \nu \in 4\IZ+1 \\ 1, & \mbox{falls } \nu \in 4\IZ-1 \end{cases} [/mm].
>
> Also ist der Hauptteil [mm]\bruch{1}{z}[/mm].
> Ist das denn so richtig?
Ja
> Ich finde meine Folge [mm]a_{\nu}[/mm] etwas skuril.
Wieso das denn ?
>
> Für [mm]V = V_{1,\infty}(0)[/mm] steht mir leider die geometrische
> Reihe nicht zur Verfügung und die Integrale laufen auch
> hier auf häßliche Gleichungen. Wie könnte man dort
> ansetzen?
Du sollst also die Laurentreihe für |z|>1 fabrizieren.
Eine Möglichkeit:
Setze [mm] $g(w):=f(\bruch{1}{w})$ [/mm] und bestimme die Laurententwicklung von g für 0<|w|<1.
Dabei brauchst Du wieder die geometrische Reihe.
Dann transformierst Du zurück: [mm] $f(z)=g(\bruch{1}{z})$ [/mm]
> Und vllt nebenbei, angenommen die obige Laurent-Reihe ist
> richtig, dann folgt doch aus ihr, das [mm]f(z)[/mm] einen Pol der
> Ordnung 1 an [mm]z=0[/mm] hat?
Ja
>
> MfG und danke schon mal
>
> P.S: Gibt es eine Vereinbarung, wann Variablen mit
> griechischen und wann mit lateinischen Buchstaben
> bezeichnet werden?
Nein
FRED
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Hallo FRED und erstmal danke!
Also wenn ich [mm] g(\omega)=f(\bruch{1}{\omega}) [/mm] für [mm] 0 < |\omega| < 1 [/mm] setze, dann sieht das wie folgt aus:
[mm] g(\omega)=f(\bruch{1}{\omega}) = \bruch{\omega}{1+\bruch{1}{\omega^{2}}} = \bruch{\omega^{3}}{1+\omega^{2}} = \summe_{\nu=0}^{\infty}(-1)^{\nu}\omega^{2\nu+3} = \summe_{\nu=3}^{\infty}a_{\nu}\omega^{\nu}[/mm]
mit [mm] a_{\nu}=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } \nu \in 2\IZ \\ 1, & \mbox{falls } \nu \in 4\IZ-1 \\ -1, & \mbox{falls } \nu \in 4\IZ+1\end{cases} [/mm]
Das macht dann [mm] f(z) = g(\bruch{1}{z}) = \summe_{\nu=3}^{\infty}a_{\nu}z^{-\nu} = \summe_{\nu=-\infty}^{-3}a_{\nu}z^{\nu}[/mm].
Aber das würde heißen, dass [mm]f(z)[/mm] an der 0 eine wesentliche Singularität hat oder nicht? Das ist doch ein Wiederspruch?
Irgendwas muss falsch sein!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mo 04.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED und erstmal danke!
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> Also wenn ich [mm]g(\omega)=f(\bruch{1}{\omega})[/mm] für [mm]0 < |\omega| < 1[/mm]
> setze, dann sieht das wie folgt aus:
>
> [mm]g(\omega)=f(\bruch{1}{\omega}) = \bruch{\omega}{1+\bruch{1}{\omega^{2}}} = \bruch{\omega^{3}}{1+\omega^{2}} = \summe_{\nu=0}^{\infty}(-1)^{\nu}\omega^{2\nu+3} = \summe_{\nu=3}^{\infty}a_{\nu}\omega^{\nu}[/mm]
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> mit [mm]a_{\nu}=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } \nu \in 2\IZ \\ 1, & \mbox{falls } \nu \in 4\IZ-1 \\ -1, & \mbox{falls } \nu \in 4\IZ+1\end{cases}[/mm]
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> Das macht dann [mm]f(z) = g(\bruch{1}{z}) = \summe_{\nu=3}^{\infty}a_{\nu}z^{-\nu} = \summe_{\nu=-\infty}^{-3}a_{\nu}z^{\nu}[/mm].
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> Aber das würde heißen, dass [mm]f(z)[/mm] an der 0 eine
> wesentliche Singularität hat oder nicht?
Nein. Die Entwicklung [mm]f(z) = \summe_{\nu=-\infty}^{-3}a_{\nu}z^{\nu}[/mm] gilt für |z|>1 und nicht in einer punktierten Umgebung von 0 !!!
> Das ist doch ein
> Wiederspruch?
Widerspruch schreibt man nicht mit "ie"
FRED
> Irgendwas muss falsch sein!
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Okay, danke!
Tolles Forum, Mathe- und Deutschkorrekturen! ;)
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