Laserbohrung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mo 08.09.2008 | | Autor: | abi09-.- |
| Aufgabe | Ein Edelstahlblock hat die Form eines quadratischen Pyramidenstumpfes. Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt 8 cm, diejenige der Deckfläche beträgt 4 cm, die Höhe beträgt 8 cm.
Mit einem Laserstrahl, der auf der Strecke [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] mit P (-3,5 / 9,5 / 6) und Q (-6/16/8) erzeugt wird, durchbohrt man das Werkstück. Der Koordinatenursprung liegt im Mittelpunkt der Grundfläche.
a)Wo liegen Ein- und Austrittspunkt?
b) Wie lang ist der Bohrkanal? |
tja das ne aufgabe... ich hab keine ahnung... hab mal den vektor ausgerechnet der beschrieben wird durch P und Q : (-2,5 / 6,5 / 2)....
aber ich hab echt keine ahnung... also man müsste die hälfte wo das eintritt als ebene vielelicht definieren und dann könnte man ja den schnittpunkt machen... aber weiß nicht sor echt wie das geht?
jemand ne ahnung? irgendeinen tipp oder ansatz?
|
|
| |
|
> Ein Edelstahlblock hat die Form eines quadratischen
> Pyramidenstumpfes. Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt
> 8 cm, diejenige der Deckfläche beträgt 4 cm, die Höhe
> beträgt 8 cm.
> Mit einem Laserstrahl, der auf der Strecke
> [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm] mit P (-3,5 / 9,5 / 6) und Q (-6/16/8)
> erzeugt wird, durchbohrt man das Werkstück. Der
> Koordinatenursprung liegt im Mittelpunkt der Grundfläche.
> a)Wo liegen Ein- und Austrittspunkt?
> b) Wie lang ist der Bohrkanal?
> tja das ne aufgabe... ich hab keine ahnung... hab mal den
> vektor ausgerechnet der beschrieben wird durch P und Q :
> (-2,5 / 6,5 / 2)....
> aber ich hab echt keine ahnung... also man müsste die
> hälfte wo das eintritt als ebene vielelicht definieren und
> dann könnte man ja den schnittpunkt machen... aber weiß
> nicht sor echt wie das geht?
> jemand ne ahnung? irgendeinen tipp oder ansatz?
NACHTRAG: AKTUELL
Wegen Al-Chwarizmi Anmerkung muss hier etwas geändert werden! Du solltest in der Tat dir immer eine Skizze zuerst machen, ich habe leider die falsche Annahme gemacht, der Strahl trifft auf die rechte Seite!
Liebe Grüße :) Na dann wollen wir mal sehen, was wir für dich tun können. Also dein Vektor [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] stimmt
So das ganze sieht ja so als, dass wir diesen Laserstrahl haben und zwei Ebenen, die uns interessieren. Einmal gibt es da die "Decke" des Quades, also die Oberseite, wo der Laserstrahl auftreffen wird. Und dann interessiert uns natürlich noch der Austrittspunkt, also der Punkt, an dem er auf der Grundseite/Unterseite wieder austreten wird. Somit sind für diese Aufgabe nur zwei Ebenen von Interesse, die Oberseite und die Unterseite des Pyramidenstumpfes (Decke und Grundseite)
Die Gerade g des Laserstrahls haben wir, was wir jetzt noch brauchen, um die gewünschten Punkte für a) auszurechnen, sind die Ebenen.
Nun, da du weißt, dass der Koordinatenurpsrung in der Mitte der Grundfläche liegen soll. Also ist die Grundfläche die x-y-Ebene! Daher könntest du einfach die Ebenengleichung [mm]E_g: z=0[/mm] aufstellen. Das ist eine Koordinatenform für die x-y-Ebene. Solltest du diesen Schritt nicht verstehen, kannst du dir aber auch zwei Vektoren ausdenken, die die Ebene der Grundfläche bilden.
Wenn die Grundfläche eine Seitenlänge von 8 cm hat, und der Koordinatenursprung in der Mitte der Grundfläche liegen soll, so halbiert sie die Seitenlänge um 2. Also haben wir z.B. die Ebene aufgespannt durch einen Vektor, der 4 Einheiten nach rechts oder links auf der x-Achse wandert und einen, der 4 Einheiten noch vorn oder hinten auf der y-Achse wandert, denn die Grundseite ist ja quadratisch.
Damit könntest du folgende Ebene aufstellen:
[mm]E_g:\vecx=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{4 \\ 0 \\ 0}+s*\vektor{ 0 \\ 4 \\ 0}[/mm]
Mit der Normalenform wäre es noch einfacher, die habt ihr aber nicht, oder?
Für die zweite Ebene müssen wir herausfinden, wo der Laserstrahl eintritt. Dafür am besten eine Skizze machen. Nach einer kleinen Debatte hier haben wir ja nun rausbekommen, dass der Laserstrahl durch die rechte Seite eintritt. Daher musst du dir eine Ebene ausdenken, die die Rechte Seite der Pyramide darstellt. Z.B. wählst du dafür einen Punkt A, der auf der Kante der rechten Seite liegt.
Dafür musst du dir leider etwas mehr Arbeit machen, am besten erst einmal alle 8 Eckpunkte ausrechnen, dann kannst du die entsprechende Seitenebene aufstellen
Jetzt kannst du deine Gerade g(PQ) mit diesen beiden Ebenen schneiden und voilà, du hast zwei Schnittpunkte, mithin Ein- und Austrittspunkt. Ich gehe mal davon aus, dass sie jeweils in der Ebene liegen, die gefragt ist, sprich, dass sie innehalb von 8x8 bzw 4x4 cm² der Grund- bzw. Oberseite liegen.
Solltest du die Koordinatenform benutzen, musst du das noch überprüfen. Nimmst du die Parameterform, so siehst du das direkt an den Variablen r und s. Denn 1*r + 1*s bewirkt ja gerade 8x8 bzw 4x4. Das bedeutet, wenn du einen Punkt als Schnittpunkt von Gerade und Ebene herausbekommst, der einen Wert von r oder s hat, der kleiner als 1 ist, so liegt dein Punkt innerhalb des Quadrates also innerhalb des Pyramidenstumpfes.
|
|
|
| |
|
Jetzt muss ich ne Frage zu meiner eigenen Antwort stellen, wie peinlich, aber ich stehe auf dem Schlauch.
Ich bin unfähig, die blöde Paramterform meiner Ebene in die angegebene Koordinatenform zu übertragen
man bekommt raus:
[mm]\vmat{ x = 4r \\ y = 4s \\ z = 0 }[/mm]
geometrische Deutung ist klar, die Ebene bewegt/verändert sich nur in x- und y-Richtung ,in z passiert nichts, dahier haben wir eine Darstellung der x-y Ebene, aber ich kann darauf nicht auf Z=0 schließen/umformen, oder?
Denn oben bekäme ich x+y+z=4r+4s, wenn ich dass überhaupt so addieren darf, bzw ich bekomme die Variablen ja nicht raus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Adamantin!
Doch, genau sieht es aus. Es gilt: $z \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Um sich einen Überblick zu verschaffen, welche
Seitenflächen des Körpers der Laserstrahl über-
haupt treffen könnte, wäre eine Zeichnung
(z.B. ein Schrägbild) wohl sehr hilfreich !
In einer solchen Darstellung ist es auch möglich,
die Schnittpunkte konstruktiv zu ermitteln, so
wie man das früher in der "darstellenden
Geometrie" gemacht hat. Jedenfalls wäre eine
Zeichnung auch eine gute Hilfe zur Kontrolle
rechnerischer Lösungen !
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
Völlig richtig, ich hoffe mal, in diesem einfachen Fall ist es die Decke, die durchstoßen wird, scheint so hinzukommen, aber es hätten natürlich auch die Seiten sein können, dann hätte man die Seiten als Ebenen aufstellen müssen. Gute Anmerkung
Jep, in diesem Fall ist es so, dass die Decke durchstoßen wird.
|
|
|
| |
|
> Völlig richtig, ich hoffe mal, in diesem einfachen Fall ist
> es die Decke, die durchstoßen wird, scheint so hinzukommen,
> aber es hätten natürlich auch die Seiten sein können, dann
> hätte man die Seiten als Ebenen aufstellen müssen. Gute
> Anmerkung
>
> Jep, in diesem Fall ist es so, dass die Decke durchstoßen
> wird.
Aufgrund meiner Skizze glaube ich gerade dies nicht.
Der Strahl, dessen Richtung durch den Vektor [mm] \overrightarrow{QP}
[/mm]
gegeben ist (wir hoffen einmal, dass der Laserstrahl
wirklich auf das Werkstück hin gerichtet ist), trifft
zuerst auf eine der trapezförmigen Seitenflächen
des Blocks.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
Mein Fehler, ich hab nur geschaut, ob er die Ebene bei z=8 schneidet, was Blödsinn war.
Dann muss die Aufgabe so gerechnet werden, dass man eine Ebene aufstellt, die die rechte Seite darstellt. Also z.B. den Punkt A(0/4/0) und dann einen Vektor um 4 nach hinten (-4/0/0) und einen zweiten Vektor um acht nach oben (0/0/8), stimmts?
|
|
|
| |
|
> Mein Fehler, ich hab nur geschaut, ob er die Ebene bei z=8
> schneidet, was Blödsinn war.
Der Schnittpunkt der Geraden PQ mit der Deckebene
des Pyramidenstumpfs ist der Punkt Q selbst und
liegt also weit ausserhalb des Werkstücks.
> Dann muss die Aufgabe so gerechnet werden, dass man eine
> Ebene aufstellt, die die rechte Seite darstellt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
(ich nehme mal an, dass du mit "rechts" dasselbe meinst
wie ich, nämlich die Richtung, welche durch die positive
y-Richtung gegeben ist)
Also z.B.
> den Punkt A(0/4/0)
dies wäre der Mittelpunkt der Grundkante
des Trapezes, auf welches der Strahl zuerst trifft
> und dann einen Vektor um 4 nach hinten
> (-4/0/0) und einen zweiten Vektor um acht nach oben
> (0/0/8), stimmts?
da komm ich nicht ganz mit ...
Ich würde empfehlen, zuerst die Koordinaten aller
Eckpunkte des Trapezes bzw. des Pyramidenstumpfes
zu notieren.
Die Gleichung der "rechten" Seitenebene ist 4y+z=16 .
|
|
|
|
