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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Sa 12.05.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Man bestimme die LAPLACE-Transformierte der Funktion
[mm] f(t)=\begin{cases} t*e^{t}, & \mbox{für } 0 \le t < 1 \\ e^{t}, & \mbox{für } t \ge 1\end{cases} [/mm] |
Hallo und guten Morgen!
Bei o. g. Aufgabe stellt sich für mich soeben folgende Frage:
Es ist ja prinzipiell kein problem, von dieser stükweise definierten Funktion die LAPLACE-Transformierte zu bilden:
[mm] F_{s1}= \bruch{1}{(s-1)^{2}} [/mm] und [mm] F_{s2}= \bruch{1}{(s-1)}
[/mm]
Wenn ich mich allerdings an die Vorlesung zurück erinnere, haben wir dort solche stückweise definierten Funktionen immer mittels der HEAVISIDE-Funktion dargestellt und diese dann transformiert! Wäre sicher eleganter, da man danach keine Grenzen bzw. Bereiche mehr zu beachten hat!
Ist meine obige Rechnung richtig, oder muss ich die beiden Therme zuerst mittels HEAVISIDE darstellen und danach erst transformieren??
Falls der zweite Fall zutreffen sollte: Wie kann ich eine e-Funktion mit der HEAVISIDE-Funktion darstellen??
Vielen Vielen Dank für eure Hilfe!!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Sa 12.05.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Man bestimme die LAPLACE-Transformierte der Funktion
>
> [mm]f(t)=\begin{cases} t*e^{t}, & \mbox{für } 0 \le t < 1 \\ e^{t}, & \mbox{für } t \ge 1\end{cases}[/mm]
>
> Hallo und guten Morgen!
>
> Bei o. g. Aufgabe stellt sich für mich soeben folgende
> Frage:
>
> Es ist ja prinzipiell kein problem, von dieser stükweise
> definierten Funktion die LAPLACE-Transformierte zu bilden:
>
> [mm]F_{s1}= \bruch{1}{(s-1)^{2}}[/mm] und [mm]F_{s2}= \bruch{1}{(s-1)}[/mm]
>
> Wenn ich mich allerdings an die Vorlesung zurück erinnere,
> haben wir dort solche stückweise definierten Funktionen
> immer mittels der HEAVISIDE-Funktion dargestellt und diese
> dann transformiert! Wäre sicher eleganter, da man danach
> keine Grenzen bzw. Bereiche mehr zu beachten hat!
nein, durch Verwendung von Heaviside-Funktionen ändert sich nur die Darstellung. Die Rechnung ist identisch.
>
> Ist meine obige Rechnung richtig, oder muss ich die beiden
Oben ist keine Rechnung, sondern nur ein Ergebnis. Kein Ahnung, ob das stimmt, ich habe es nicht nachgerechnet. Zeig doch mal Deine Rechnung.
> Therme zuerst mittels HEAVISIDE darstellen und danach erst
> transformieren??
Nein, das spielt keine Rolle.
>
> Falls der zweite Fall zutreffen sollte: Wie kann ich eine
> e-Funktion mit der HEAVISIDE-Funktion darstellen??
Gar nicht. Die Heaviside-Funktion ist so definiert:
[mm] $\Theta(x)=\begin{cases}
0 : & x < 0\\
1 : & x \ge 0
\end{cases}$
[/mm]
Wenn Du jetzt eine Funktion f(x) darstellen willst, die im Bereich [mm] $1\leq x\leq [/mm] 3$ der Funktion $h(x)$ (z.B.: $h(x)=1$) entspricht und sonst =0 ist, sieht das mit der Heaviside-Funktion so aus:
[mm] $f(x)=\Theta(x-1)\Theta(3-x)h(x)$
[/mm]
Diese Funktion kann man aber auch genausogut so darstellen:
[mm] $f(x)=\begin{cases}
h(x) & \ensuremath{1\leq x\leq3}\\
0 & \text{sonst}
\end{cases}$
[/mm]
>
> Vielen Vielen Dank für eure Hilfe!!
>
> Lg
Gruß,
notinX
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