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| Aufgabe | x´´ (t) + 4x(t) = 0 auf [mm] (0;\pi) [/mm] mit x(0) = 1; x´ (0) = 0
und berechnen Sie x1 := [mm] x(\pi); [/mm] x2 := x´ [mm] (\pi). [/mm] |
hallo, also ich habe diesen [mm] auf(0;\pi) [/mm] nicht ganz kapiert.
hab einfach losgerechnet.
hatte als bildfunktion: [mm] X(s)=1/(s^2+4)
[/mm]
x(t)=sin(2t)/2 und x´ (t)=cos(2t)
daraus folgt dann: [mm] x(\pi)=sin(2\pi)/2=0 [/mm] x1:=0
x´ [mm] (\pi)=1 [/mm] x2:=1
oder? aber was hat dieses auf [mm] (0;\pi) [/mm] auf sich??
grüße este
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Hallo esteban,
damit man dir besser helfen kann, würde ich dir empfehlen, die genaue Aufgabenstellung vollkommen unverändert aufzuschreiben und auch deine Lösungsversuche etwas deutlicher darzustellen. Geht es bei deiner Aufgabe um die einseitige Ableitung im Zeitbereich?
Gruß, Marcel
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Aufgabe 12 Lösen Sie nacheinander folgende Anfangswertprobleme:
a) x´´ (t) + 4x(t) = 0 auf [mm] (0;\pi) [/mm] mit x(0) = 1; x´ (0) = 0
und berechnen Sie x1 := [mm] x(\pi); [/mm] x2 := [mm] x´(\pi).
[/mm]
also es geht meiner meinung nach um eine eine ganz normale dgl 2.ordnung, abhängig von t. und diese soll nun mit der laplacetransformation gelöst werden. das hab ich auch alles verstanden, außer das "auf [mm] [0;\pi)". [/mm] mehr kann ich leider nicht sagen.
grüße esteban
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Hi!
> Aufgabe 12 Lösen Sie nacheinander folgende
> Anfangswertprobleme:
> a) x´´ (t) + 4x(t) = 0 auf [mm](0;\pi)[/mm] mit x(0) = 1; x´ (0)
> = 0
> und berechnen Sie x1 := [mm]x(\pi);[/mm] x2 := [mm]x´(\pi).[/mm]
>
> also es geht meiner meinung nach um eine eine ganz normale
> dgl 2.ordnung, abhängig von t. und diese soll nun mit der
> laplacetransformation gelöst werden. das hab ich auch
> alles verstanden, außer das "auf [mm][0;\pi)".[/mm] mehr kann ich
> leider nicht sagen.
>
> grüße esteban
Mit [mm] t\in[0,\pi) [/mm] hätte man meiner Meinung nach das Kriterium für die einseitige Laplace-Transformation, da für negative Zeiten das Laplace-Integra nicht existiert.
Für die Differentialgleichung im Laplace-Bereich hätte man ja:
[mm] p^{2}*X(p)-p*x(0^{-})-x^{|}(0^{-})+4*X(p)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow X(p)=\bruch{p}{p^{2}+4}, [/mm] mit [mm] x(0^{-})=1 [/mm] und [mm] x^{|}(0^{-})=0
[/mm]
Ferner die Rücktransformierte gilt zunächst auf [mm] [0,\infty):
[/mm]
[mm] x(t)=\bruch{1}{2j\pi}\integral_{0^{-}}^{\sigma+j\infty}{\bruch{p}{p^{2}+4}*e^{pt}dp}=cos(2t)u(t), [/mm] mit [mm] j\in\IC [/mm] und [mm] u(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<0 \mbox{} \\ 1, & \mbox{für } t\ge0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Jetzt weiss ich nicht was das heissen soll: "x1 := [mm] x(\pi) [/mm] x2 := [mm] x(\pi)". [/mm] Natürlich kann man nun noch [mm] \pi [/mm] in die Rücktransformierte einsetzen und berechnen.
Dabei ist dann jedoch darauf zu achten, dass die Rücktransformierte laut Aufgabenstellung nur mit [mm] t\in[0,\pi) [/mm] definiert ist. Vielleicht kannst du an dieser Stelle noch einmal für Aufklärung sorgen.
Gruß, Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Do 11.02.2010 | | Autor: | smarty |
Hallo Este,
> x´´ (t) + 4x(t) = 0 auf [mm](0;\pi)[/mm] mit x(0) = 1; x´ (0) =
> 0
> und berechnen Sie x1 := [mm]x(\pi);[/mm] x2 := x´ [mm](\pi).[/mm]
> hallo, also ich habe diesen [mm]auf(0;\pi)[/mm] nicht ganz
> kapiert.
> hab einfach losgerechnet.
> hatte als bildfunktion: [mm]X(s)=1/(s^2+4)[/mm]
wie kommst du auf diese Bildfunktion? Meiner Ansicht nach fehlt noch ein "s" im Zähler.
> x(t)=sin(2t)/2 und x´ (t)=cos(2t)
> daraus folgt dann: [mm]x(\pi)=sin(2\pi)/2=0[/mm] x1:=0
> x´ [mm](\pi)=1[/mm] x2:=1
> oder? aber was hat dieses auf [mm](0;\pi)[/mm] auf sich??
mit dem Rest kann ich auch nichts anfangen, tut mir leid.
Viele Grüße
Smarty
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ja danke leute.
ich hatte echt das s vergessen! die bf. ist [mm] dann:X(s)=s/(s^2+4)
[/mm]
und so hab ich auch cos(2t) raus.
aber zum rest kann ich auch nicht mehr sagen. das war ein arbeitsblatt von der uni, trotzdem danke
grüße esteban
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 01:39 Fr 12.02.2010 | | Autor: | leduart |
Edit: die Antwort bezog sich irrigerweise auf einen überholten post.
richtig ist nur, dass einfach nach der Auswertung von x(t) bei [mm] t=\pi [/mm] gefragt ist.
Hallo
du musst das doch nicht mit Laplace lösen?
die Allgemeine Lösung ist dann
x(t)=Asin(2t)*Bcos(2t). mit den gegebenen Anfangsbed. ist das x(t)=cos(2t)
nicht deine Lösung!
dann ist [mm] x(\pi)=1 [/mm] und [mm] x'(\pi)=0
[/mm]
was du machst versteh ich nicht, insbesondere nicht, wie du mit den Anfangswerten auf sin kommst sin(0)=0!
Gruss leduart
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