Laplace Würfel < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Auf den Farbmonitor eines Computer- Spielautomaten wird ein Laplace wprfel dreidimensional dargestellt, jede der 6 Flächen des würfles ist mit einer Farbe gekennzeichnet. Der Spielautomat bietet spiele nach folgenden Regeln an:
1) bei jedem Spiel wird mehrmals geworfen. Das Ergebnis des Wurfs ist die gewürfelte Farbe
2)Zu beginn jedes Spiel hat jede Fläche des Würfels eine andere Farbe. Eine Fläche ist rot.
3) Wird in einem Wutf nicht rot gewürfelt, so erstetzt der Computer die gewürfelte Farbe für den NÄCHSTEN wurf durch Rot. diese fläche hat also vor dem nächsten Wurf ebenfalls die Farbe Rot.
4. Wird Rot gewürfelt, so wird nichts geändert
a) Ein spieler würfelt beim zweiten Wurf eines Spiels rot. wie grpss ist die Wahrscheinlichkit, dass er beim ersten wurf auch rot gewürfelt hat?
b)wie oft muss mindestens gewürfelt werden, damit die wahrscheinlichkei , wenigstens einmal rot zu erhalten, größer als 0.999 ist?
c) in einem weiteren spiel wird solage gewürfelt, bis Rot erscheint. Pro Wurf wird vom Automaten 1€ ausgezahlt. wie hoch muss der Einsatz für ein Spiel mindestens sein, damit der Vetrieb das Spielautomaten bei diesem spiel auf lange sicht kein Verlust ist?
|
a) P(r,r) +P(nr,r) = 30,55 HABE ich vom baumdiagram abgelesen, so und dass nun der erste Wurf rot auch ist hmmm ich weiss nicht wie das so gehn soll........ die wahrscheinlicheit beim ersten wurf rot zu würfeln ist ja normal 1/6...
b) hmm da da muss ichja n bestimmen.. nun ja ich bin unsicher hier weil die Wahrscheinlichkeit ändert sich ja immer.... könnt ihr mir da einen tipp/ ansatz geben?
ich hab mir gedacht [mm] P(x\ge1)=P(y
0.9999= P_(1/6) (y<n-1)
0.9999= [mm] \bruch{n!}{(n-n-1)!*(n-1)!}* \bruch{1}{6}^{n-1} *\bruch{5}{6}^{n-n-1}
[/mm]
so ich habe es versucht mirt dem gegenereignis auszudrücken also kleiner hächstens n-1 mal rot. aber wie löse ih das weiter auf?? oder ist der ansatz falsch, weil mich iritiert es, da p sich eigendlich ja ändert....
c)hmm hier ist mir nicht klar wann 1 € ausgezahlt wird ich dachte an n*1=n
also müsste der einsatz gleich n betragen aber das wäre zu leicht ^^
c)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 So 01.11.2009 | | Autor: | alex12456 |
KÖNNT IHT MIr bitte helfen?? es wäre ganz wichtig, wegen der Kursarbeit.....
|
|
|
| |
|
Hallo!
Zu a)
Hattet ihr schon bedingte Wahrscheinlichkeit? Denn eigentlich ist das so eine Aufgabe. Man kommt auf $p = [mm] \frac{1}{11}$.
[/mm]
Zu b)
Du hast richtig erkannt: p ändert sich für jedes neue Spiel. Deswegen kannst du hier nicht Formeln für Binomialverteilungen benutzen. Ich finde die Aufgabe äußerst seltsam gestellt, ich möchte hier einmal betonen, dass das nicht unbedingt eine tolle Übungsaufgabe für eine Klausurvorbereitung ist...
Also, wir können keine Binomialverteilung nehmen, deine Idee mit dem Gegenereignis war aber gut. Also lass uns die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass keinmal rot fällt, und wir müssen schauen, wann diese Wahrscheinlichkeit unter 0.001 sinkt.
Beim ersten Wurf ist die Wahrscheinlichkeit für kein rot 5/6, beim nächsten nur noch 4/6, dann 3/6, dann 2/6, dann 1/6, und dann 0.
Logische Folgerung --> Das gesuchte "n" = Anzahl der Würfe kann höchstens 5 sein, denn ab n = 6 ist die Wahrscheinlichkeit für Rot = 1, weil alle Seiten des Würfels dann rot sind.
Nun stellt man aber fest, dass $(5/6)*(4/6)*(3/6)*(2/6)*(1/6) = 0.015 > 0.001$, d.h. bis zum 5. Wurf ist die Wahrscheinlichkeit noch zu groß. Also ist n = 5.
(Es mag eine seltsame Lösung sein, aber wenn die Aufgabe so lautet, sollte dein Gedankengang genau so sein...)
Zu c)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ausschüttungen von 1€, 2€, 3€, 4€, 5€. (Basierend auf der Idee von b). Beispiel:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 bekommt man 0€ (sofort rot gewürfelt).
Der erste Wurf wird zu (5/6) nicht rot und der darauffolgende mit einer Wahrscheinlichkeit von (2/6) rot (das ist eine notwendige Bedingung dafür, dass man nur 1€ gewinnt!), also ist die Wahrscheinlichkeit für 1€ entsprechend (5/6)*(2/6).
Der zweite Wurf wird mit einer Wahrscheinlichkeit von (5/6)*(4/6) nicht rot, und der darauffolgende dann mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/6 rot, d.h. man bekommt mit einer Wahrscheinlichkeit von (5/6)*(4/6)*(3/6) dann zwei Euro.
usw.
Nun haben wir eine Zufallsgröße (den Gewinn) definiert, und die 6 Möglichkeiten ergeben zusammen 100% (das ist notwendig, damit wir im Folgenden den Erwartungswert ausrechnen können!).
Nun berechnen wir den Erwartungswert des Experiments, d.h. wieviel man durchschnittlich gewinnt.
--> Soviel muss dann der Besitzer des Automaten verlangen, damit er keine Miese macht (zumindest statistisch gesehen).
Immer wenn es darum geht, auszurechnen, wieviel jemand für ein Glücksspiel als Einsatz verlangen muss, damit es "fair" ist (d.h. auf lange Zeit gesehen verliert und gewinnt man nichts, wenn man es immer und immer wieder spielt), läuft das darauf hinaus, einen Erwartungswert nach obigem Schema zu berechnen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | zu a ok ich weiss das es was mit der bedingten wahrschinlichkeit zu tun hat, aber ich weiss nicht wie ich das darauf anwenden soll um 1/11 zu bekommen...
zu b) ja was bedeuten die 0.015 1-0.015 sind ja immer noch kleiner als 0.9999.....also ist die aufgabe doch nicht ganz gelöst oder?
c) hmmm ok....teilweise verstehe ich es also es sind 5 würfe und damit kein verlust auftritt müssen 5 € eingesetzt werden denk ich oder? |
danke.....
|
|
|
| |
|
Hallo!
Zu a)
Du hast folgenden Baum:
[Dateianhang nicht öffentlich]
All diese Wahrscheinlichkeiten solltest du dir aus der Aufgabenstellung erschließen können!
Wir wollen nun die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass beim 1. Wurf rot war, wenn beim zweiten Wurf rot war.
Nun solltest du mal in deinem Hefter nach den benötigten Formeln kramen (Der Satz von Bayes).
Man kann aus den beiden Teilereignissen, dass beim zweiten Wurf rot war, die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür ausrechnen, dass beim zweiten Wurf rot war: 1/36 + 10/36 = 11/36.
Nun betrachten wir den Baum "umgedreht"; die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit an dem unteren linken Zweig:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und da wir vom anderen Baum wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal hintereinander rot kommt, 1/36 ist, können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit nun mit Hilfe der Pfadregel bei solchen Bäumen berechnen.
Zu b)
Ja, richtig, bei n = 5 reicht die Wahrscheinlichkeit offenbar noch nicht aus, da habe ich mich verschrieben, ich wollte schreiben: Also muss n = 6 sein. Denn bei n = 6 wird die Wahrscheinlichkeit 0, dass noch einmal nicht rot kommt, weil ja alle Seiten des Würfels schon rot sind. Das bedeutet aber für das "Nicht-Gegenereignis", das bei n= 6 die Wahrscheinlichkeit = 1 ist, also > 0.999.
Zu c)
> c) hmmm ok....teilweise verstehe ich es also es sind 5
> würfe und damit kein verlust auftritt müssen 5 €
> eingesetzt werden denk ich oder?
> danke.....
Hast du gelesen was ich geschrieben habe? Du musst erstmal den Erwartungswert berechnen, und dafür musst du erst einmal ausrechnen, wie die Wahrscheinlichkeit dafür ist, 1€, 2€, etc. zu gewinnen.
In der Aufgabenstellung ist nicht gefragt, welchen Einsatz der Besitzer verlangen müsste, damit er auf jeden Fall Gewinn macht - dann hättest du mit deinen 5€ natürlich recht, aber die Aufgabe wäre dann auch zu einfach. Es geht um den exakten Wert, den der Besitzer verlangen müsste, damit er auf lange Zeit betrachtet weder verliert noch gewinnt! (In der Aufgabenstellung steht: Welchen Betrag müsste der Betrieb mindestens verlangen!)
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | aso vielen dank......
bei d kommt dan für E(x)= 3.335 raus also müsste derEinsatz auf langer sicht ebenfalls 3.4 € pro spiel sein oder? |
nochmal danke
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich komme mit folgender Rechnung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
auf 1.78 € als Erwartungswert für den Gewinn (absichtlich aufgerundet, wegen der Aufgabenstellung!), d.h. der Besitzer müsste mindestens 1.78€ pro Spiel verlangen.
Prüfe deine Rechnung noch einmal.
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
