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| Aufgabe | Die ungedämpfte Schwingung mit Erregung wird beschrieben durch die DG
[mm] my"+m\omega^{2}y=f(t)
[/mm]
Die Erregung erfolge durch die zeitlich begrenzten sinusförmigen Impuls mit Resonanzfrequenz. Lösen Sie speziell [mm] (m=\omega=1)
[/mm]
[mm] y"+y=(1-h(t-\pi))sint, [/mm] y(0)=0, y`(0)=1
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Hallo
Kann mir hier Bitte jemand helfen
[mm] y"+y=(1-h(t-\pi))sint [/mm]
[mm] S^{2}*L\{y\}-S*y(0)-y'(0)=\bruch{1}{s^{2}+1}-(sint*h*(t-\pi)) [/mm] wie kann ich den zweiten Summanden transformieren ich glaub da braucht man den 2.ten Verschiebungssatz aber ich hab absolut keine Ahnung wie ich den da Anwenden kann
Kann mir das jemand Schritt für Schritt einmal vortransformieren
Danke
lg Stevo
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Hallo,
es geht am einfachsten mit dem Differentiationssatz im Frequenzbereich:
[mm]L\left\{\left(-1\right)^n*t^n*f\left(t\right)\right\} = \bruch{d^n F\left(s\right)}{ds^n}[/mm]
Zu finden im Lutz/Wendt auf Seite 80.
Diesen Satz kann man leicht anwenden, wenn man die Klammer [mm](t-\pi)[/mm] auflöst. Dann bleibt nur noch der Ausdruck [mm]h*t*\sin t[/mm] übrig, der dazu passt wie die Faust aufs Auge.
Gruß
Martin
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Hallo
Danke für die rasche Antwort aber in der Angabe steht leider Das bei Transformaton und Rücktransformation ist der 2te Verschiebungssatz anzuwenden. Wie funktioniert das dann...
lg Stevo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Mi 30.08.2006 | | Autor: | Martin243 |
Ach ja,
jetzt sehe ich es:
Ich habe h als Konstante behandelt, dabei soll es die verschobene Funktion sein. Entschuldigung! Ich schaue mir das Problem mal in Ruhe an.
Wir finden schon eine Lösung...
Gruß
Martin
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Hmmm,
ich glaube, ich habe es:
Nochmal der Ordnung halber:
[mm]\ddot{y} + y = \left(1 - h\left(t - \pi\right)\right)*\sin t[/mm] mit [mm]y\left(0\right)=0, \dot{y}\left(0\right)=1[/mm]
Laplace-Transformation ergibt:
[mm]s^2*Y - s*y\left(0\right) - \dot{y}\left(0\right) + Y = \bruch{1}{s^2+1} - \left(e^{-s\pi}*H\right)\*\bruch{1}{s^2+1}[/mm]
Der Verschiebungssatz liefert und die Transformierte von [mm]h\left(t-\pi\right)[/mm] mit [mm]e^{-s\pi}*H(s)[/mm].
Die Multiplikation [mm]h\left(t-\pi\right)*\sin t[/mm] im Zeitbereich führt zu der Faltung "*" im Laplaceraum!
Nun setzen wir die Anfangsbedingungen ein und lösen nach Y auf:
[mm]Y*\left(s^2+1\right) - 1 = \bruch{1}{s^2+1} - \left(e^{-s\pi}*H\right)\*\bruch{1}{s^2+1}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow Y = \bruch{1}{s^2+1} + \bruch{1}{\left(s^2+1\right)^2} - \bruch{1}{s^2+1}*\left(\left(e^{-s\pi}*H\right)\*\bruch{1}{s^2+1}\right)[/mm]
Jetzt müssen wir das Ganze "nur noch" zurücktransformieren. Die Sinus-Transformierte kennen wir ja, die Faltung wird wieder zur Multiplikation, die Multiplikation wird zur Faltung. Nur bei dem dritten Term mit den zwei Quadraten im Nenner müssen wir uns etwas abmühen (zumindest kenne ich keinen besseren Weg):
[mm]y = \sin t + L^{-1}\left\{\bruch{1}{\left(s^2+1\right)^2}\right\} - \sin t\*\left(h\left(t-\pi\right)*\sin t\right)[/mm]
Um die letzte Laplace-Transformierte auszurechnen, habe ich mich entschieden, die Faltung im Zeitbereich durchzuführen gemäß:
[mm]L^{-1}\left\{\bruch{1}{\left(s^2+1\right)^2}\right\} = L^{-1}\left\{\bruch{1}{s^2+1}*\bruch{1}{s^2+1}\right\} = \int_0^t\sin\left(t-\tau\right)*\sin\tau d\tau[/mm]
Dieses Integral bestimmt man beispielsweise durch partielle Integration und kleinere trigonometrische Umformungen zu:
[mm]\int_0^t\sin\left(t-\tau\right)*\sin\tau d\tau = \bruch{1}{2}\sin t - \bruch{1}{2}t\cos t[/mm]
Damit haben wir auch diese Rücktransformierte und erhalten insgesamt:
[mm]y =\bruch{3}{2}\sin t - \bruch{1}{2}t\cos t - \sin t\*\left(h\left(t-\pi\right)*\sin t\right)[/mm]
So, das müsste alles sein.
Gruß
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Do 31.08.2006 | | Autor: | stevarino |
Hallo
Danke für die ausführliche Lösung hat mir sehr weitergeholfen
lg Stevo
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