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Laplace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Mo 07.11.2011
Autor: louis92

Hallo,
Mache mir über folgende Aufgabe Gedanken: Um zu überprüfen ob es sich um einen Laplacewürfel handelt soll ein Test konstruiert werden. Hierzu würfelt man 10 mal und notiert die Anzahl der 6er. Liegt diese Anzahl innerhalb einer bestimmten Teilmenge {0,...,10} so wird davon ausgegangen dass es sich um einen Laplacewürfel handelt. Nun möchte ich eine Teilmenge A aus {0,...,10} finden sodass P(A) [mm] \ge [/mm] 0,95. Zuerst dachte ich mir man berechnet die Wahrscheinlichkeiten von [mm] A_i [/mm] = "Es wird genau i mal 6 gewürfelt" Also [mm] P(A_0) [/mm] bis [mm] P(A_{10}) [/mm] mit [mm] P(A)=P(A_1) [/mm] + .... bis zu dem [mm] A_i [/mm] bis zu dem schon gilt P(A) [mm] \ge [/mm] 0,95.  Stimmt das?
louis

        
Bezug
Laplace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:48 Di 08.11.2011
Autor: kamaleonti

Moin louis92,
>  Mache mir über folgende Aufgabe Gedanken: Um zu
> überprüfen ob es sich um einen Laplacewürfel handelt
> soll ein Test konstruiert werden. Hierzu würfelt man 10
> mal und notiert die Anzahl der 6er. Liegt diese Anzahl
> innerhalb einer bestimmten Teilmenge {0,...,10} so wird
> davon ausgegangen dass es sich um einen Laplacewürfel handelt.

Wenn man sowas aus nur 10 Würfen bereits schließen kann...

> Nun möchte ich eine Teilmenge A aus {0,...,10}
> finden sodass P(A) [mm]\ge[/mm] 0,95.

Da ist die einfachste Teilmenge A selbst :-)

> Zuerst dachte ich mir man berechnet die Wahrscheinlichkeiten von [mm]A_i[/mm] = "Es wird genau
> i mal 6 gewürfelt" Also [mm]P(A_0)[/mm] bis [mm]P(A_{10})[/mm] mit
> [mm]P(A)=P(A_1)[/mm] + .... bis zu dem [mm]A_i[/mm] bis zu dem schon gilt P(A) [mm]\ge[/mm] 0,95.  Stimmt das?

Ich vermute mal, du möchtest eine möglichst "kleine" Menge A, die [mm] P(A)\geq0,95 [/mm] erfüllt.
In der Tat solltest du dazu erst einmal die Wahrscheinlichkeiten [mm] P(A_i) [/mm] unter der Annahme eine Laplacewürfels ausrechnen. Tipp: []Binomialverteilung. Dann kannst du A aus den i wählen, für die [mm] P(A_i) [/mm] "groß" ist.

LG


Bezug
                
Bezug
Laplace: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:00 Di 08.11.2011
Autor: louis92

Somit definiere [mm] A_i:= [/mm] "Genau i mal wird eine 6 geworfen".  Dann ist
[mm] P(A_0)= \vektor{12 \\ 0} \vektor{1 \\ 6}^0 \vektor{5 \\ 6}^{12} \approx [/mm] 0,672939928
[mm] P(A_1)= \vektor{12 \\ 1} \vektor{1 \\ 6}^1 \vektor{5 \\ 6}^{11} \approx [/mm] 0,2691759715.  Könnte dies jetzt bis i = 12 weitermachen. Jedoch ergibt bereits [mm] P(A_0)+P(A_1)+P(A_2) [/mm] eine Wahrscheinlichkeit größer als 1. Intuitiv hätte ich gesagt, die Teilmenge muss so aussehen {0,1,2} Da der Erwartungswert bei 10maligem würfeln eine 6 zu würfeln gleich 5/3 ist.  
louis

Bezug
                        
Bezug
Laplace: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:13 Di 08.11.2011
Autor: luis52


> Somit definiere [mm]A_i:=[/mm] "Genau i mal wird eine 6 geworfen".  
> Dann ist
> [mm]P(A_0)= \vektor{12 \\ 0} \vektor{1 \\ 6}^0 \vektor{5 \\ 6}^{12} \approx[/mm]
> 0,672939928
>  [mm]P(A_1)= \vektor{12 \\ 1} \vektor{1 \\ 6}^1 \vektor{5 \\ 6}^{11} \approx[/mm] .

[verwirrt] Nach der Binomialverteilung musst du beispielsweise so rechnen:



[mm]P(A_0)= \vektor{\red{10} \\ 0} (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{ 6})^\red{10} =0.1615 [/mm]

vg Luis





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