Laplace-Transformierte < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Di 26.04.2011 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Man berechne mit Hilfe der Transformationsregeln und der "Tabelle" die Laplace-Transformierte der folgenden periodischen Funktion f(t) (Periodenlänge T = 4).
[mm] f(t)=\left\{\begin{matrix} 2, & \mbox{0 < t < 2} \\ t, & \mbox{2 < t < 4} \end{matrix}\right. [/mm] |
Hallo Zusammen,
hierbei gilt folgendes für die periodische Funktion f(t):
[mm] f_{0}(t) \multimap F_{0}(s) [/mm] -> f(t) [mm] \multimap \bruch{F_{0}(s)}{1-e^{-sT}}
[/mm]
Tabelle:
[mm] \bruch{1}{s} \multimap [/mm] 1
[mm] \bruch{1}{s^2} \multimap [/mm] t
[mm] \bruch{1}{s^2+1} \multimap [/mm] sin(t)
[mm] \bruch{1}{s-a} \multimap e^{at}
[/mm]
Zumal dürfen die Transformationsregeln: Additionssatz, Verschiebungssatz ... verwendet werden.
Mein Problem ist nun die Herangehensweise, da hierbei die Laplace-Transformierte nicht per Formel: F(s) = [mm] \bruch{1}{1-e^{-sT}} \cdot{} \int_{0}^{T} [/mm] f(u) [mm] \cdot{} e^{-su}\, [/mm] du berechnet wird.
Ich habe dazu noch eine weitere Beispielaufgabe dazu, jedoch verstehe ich nicht, wie hierbei vorgegangen wurde (Funktionen und Verschiebung)?
Beispielaufgabe:
[mm] f_{0}(t)=\left\{\begin{matrix} t, & \mbox{0 < t < 1} \\ 1, & \mbox{1 < t < 2} \end{matrix}\right.
[/mm]
[mm] f_{1}(t) [/mm] = t
[mm] \tilde f_{2}(t) [/mm] = -t
[mm] f_{2}(t) [/mm] = [mm] \tilde f_{2}(t-1)
[/mm]
[mm] \tilde f_{3}(t) [/mm] = -1
[mm] f_{3}(t) [/mm] = [mm] \tilde f_{3}(t-2) [/mm]
[mm] f_{0}(t) [/mm] = [mm] f_{1}(t) [/mm] + [mm] f_{2}(t) [/mm] + [mm] f_{3}(t)
[/mm]
[mm] f_{1}(t) [/mm] = t [mm] \multimap \bruch{1}{s^2}
[/mm]
[mm] \tilde f_{2}(t) [/mm] = -t [mm] \multimap -\bruch{1}{s^2}
[/mm]
[mm] f_{2}(t) [/mm] = [mm] \tilde f_{2}(t-1) \multimap -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-s} [/mm] // Verschiebungssatz
[mm] \tilde f_{3}(t) [/mm] = -1 [mm] \multimap -\bruch{1}{s}
[/mm]
[mm] f_{3}(t) [/mm] = [mm] \tilde f_{3}(t-2) \multimap -\bruch{1}{s} \cdot{} e^{-2s} [/mm] // Verschiebungssatz
[mm] f_{0}(t) \multimap \bruch{1}{s^2} -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-s} -\bruch{1}{s} \cdot{} e^{-2s} [/mm] = [mm] F_{0}(s)
[/mm]
f(t) [mm] \multimap \bruch{1}{1-e^{-2s}} \cdot{} \left( \bruch{1}{s^2} -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-s} -\bruch{1}{s} \cdot{} e^{-2s} \right)
[/mm]
Nun wollte ich dieses Prinzip auf die obige Aufgabe anwenden, jedoch erhalte ich nicht das richtige Ergebnis. Ich habe mit Mathematica das Integral (Formel) berechnet, hierbei müsste das gleiche rauskommen, als wenn ich dies so berechne:
[mm] \tilde f_{1}(t) [/mm] = -2
[mm] f_{1}(t) [/mm] = [mm] \tilde f_{1}(t-4)
[/mm]
[mm] f_{2}(t) [/mm] = t
[mm] \tilde f_{3}(t) [/mm] = -t
[mm] f_{3}(t) [/mm] = [mm] \tilde f_{3}(t-2) [/mm]
[mm] f_{0}(t) [/mm] = [mm] f_{1}(t) [/mm] + [mm] f_{2}(t) [/mm] + [mm] f_{3}(t)
[/mm]
[mm] f_{1}(t) [/mm] = t [mm] \multimap \bruch{1}{s^2}
[/mm]
[mm] \tilde f_{1}(t) [/mm] = -2 [mm] \multimap -\bruch{2}{s}
[/mm]
[mm] f_{1}(t) [/mm] = [mm] \tilde f_{1}(t-4) \multimap -\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-4s} [/mm] // Verschiebungssatz
[mm] f_{2}(t) [/mm] = t [mm] \multimap \bruch{1}{s^2}
[/mm]
[mm] \tilde f_{3}(t) [/mm] = -t [mm] \multimap -\bruch{1}{s^2}
[/mm]
[mm] f_{3}(t) [/mm] = [mm] \tilde f_{3}(t-2) \multimap -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-2s} [/mm] // Verschiebungssatz
[mm] f_{0}(t) \multimap -\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-4s} [/mm] + [mm] \bruch{1}{s^2} -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-2s} [/mm] = [mm] F_{0}(s)
[/mm]
f(t) [mm] \multimap \bruch{1}{1-e^{-4s}} \cdot{} \left( -\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-4s} + \bruch{1}{s^2} -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-2s} \right)
[/mm]
Laut Integral soll jedoch folgendes rauskommen: [mm] \bruch{1}{1-e^{-4s}} \int_{0}^{4} [/mm] f(u) [mm] \cdot{} e^{-su}\, [/mm] du = [mm] \bruch{1}{1-e^{-4s}} \left( \int_{0}^{2} 2 \cdot{} e^{-su}\, du + \int_{2}^{4} u \cdot{} e^{-su}\, du \right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-e^{-4s}} \left( \bruch{e^{-4s} (-1 + e^{2s} - 4 s + 2 e^{4s} s)}{s^2} \right)
[/mm]
Wo liegt der Fehler?
Vielen Dank
itse
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:25 Mi 27.04.2011 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
hat niemand eine Idee, was es mit den einzelnen Funktionen [mm] f_{1}(t), \tilde f_{1}(t) [/mm] auf sich hat? Warum zerlegt man die Funktion f(t) in einzelne Funktionen?
Beste Grüße
itse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:57 Mi 27.04.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Wieso man das macht? Ist doch offensichtlich: Die Funktion f(t) kann man aus teilen einfacher Funktionen zusammensetzen. Da die Zusammensetzung linear gemacht wird und die Laplacetransformation linear ist, ist das eine gute Methode anstelle das Komplizierte Transformationsintegral zu berechnen...
Alles was du dazu zählst musst du natürlich auch wieder irgendwann abzählen, sofern es nicht unendlich so weiter geht.
Bsp. Transformation von t ergibt [mm] \bruch{1}{s^{2}}. [/mm] Da aber nur zwischen 2 und 4 die Funktion f(t) = t existiert, musst du sie natürlich ab dem Wert 4 wieder abzählen. Indem du mit [mm] e^{-s*4} [/mm] multiplizierst, definierst du : "ab hier fängt die Funktion an".
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Mi 27.04.2011 | | Autor: | qsxqsx |
> Nun wollte ich dieses Prinzip auf die obige Aufgabe
> anwenden, jedoch erhalte ich nicht das richtige Ergebnis.
> Ich habe mit Mathematica das Integral (Formel) berechnet,
> hierbei müsste das gleiche rauskommen, als wenn ich dies
> so berechne:
>
> [mm]\tilde f_{1}(t)[/mm] = -2
Wieso minus(!!!) 2 ??!?!
> [mm]f_{1}(t)[/mm] = [mm]\tilde f_{1}(t-4)[/mm]
>
> [mm]f_{2}(t)[/mm] = t
>
> [mm]\tilde f_{3}(t)[/mm] = -t
> [mm]f_{3}(t)[/mm] = [mm]\tilde f_{3}(t-2)[/mm]
Wieso [mm] f_{3}(t-2) [/mm] und nicht [mm] f_{3}(t-4) [/mm] ...?
Ich sehe Fehler...zeichne dir das mal genau auf ein Blatt auf was wo und wann web bzw. dazukommen muss.
>
> [mm]f_{0}(t)[/mm] = [mm]f_{1}(t)[/mm] + [mm]f_{2}(t)[/mm] + [mm]f_{3}(t)[/mm]
>
> [mm]f_{1}(t)[/mm] = t [mm]\multimap \bruch{1}{s^2}[/mm]
>
> [mm]\tilde f_{1}(t)[/mm] = -2 [mm]\multimap -\bruch{2}{s}[/mm]
> [mm]f_{1}(t)[/mm] =
> [mm]\tilde f_{1}(t-4) \multimap -\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-4s}[/mm]
> // Verschiebungssatz
>
> [mm]f_{2}(t)[/mm] = t [mm]\multimap \bruch{1}{s^2}[/mm]
>
> [mm]\tilde f_{3}(t)[/mm] = -t [mm]\multimap -\bruch{1}{s^2}[/mm]
> [mm]f_{3}(t)[/mm] =
> [mm]\tilde f_{3}(t-2) \multimap -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-2s}[/mm]
> // Verschiebungssatz
>
> [mm]f_{0}(t) \multimap -\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-4s}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{s^2} -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-2s}[/mm] = [mm]F_{0}(s)[/mm]
>
> f(t) [mm]\multimap \bruch{1}{1-e^{-4s}} \cdot{} \left( -\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-4s} + \bruch{1}{s^2} -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-2s} \right)[/mm]
>
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mi 27.04.2011 | | Autor: | itse |
Hallo,
ich habs mir nochmal angeschaut und meine Lösung sieht nun so aus:
[mm] f_{1}(t) [/mm] = 2 [mm] \multimap \bruch{2}{s}
[/mm]
[mm] \tilde f_{2}(t) [/mm] = -2 [mm] \multimap -\bruch{2}{s}
[/mm]
[mm] f_{2}(t) [/mm] = [mm] \tilde f_{2}(t-2) \multimap -\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s}
[/mm]
[mm] f_{3}(t) [/mm] = t [mm] \multimap \bruch{1}{s^2}
[/mm]
[mm] \tilde f_{4}(t) [/mm] = -t [mm] \multimap -\bruch{1}{s^2}
[/mm]
[mm] f_{4}(t) [/mm] = [mm] \tilde f_{4}(t-4) \multimap -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-4s}
[/mm]
[mm] f_{0}(t) [/mm] = [mm] f_{1}(t) [/mm] + [mm] f_{2}(t) [/mm] + [mm] f_{3}(t) [/mm] + [mm] f_{4}(t)
[/mm]
f(t) = [mm] \bruch{2}{s} [/mm] - [mm] \bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s} [/mm] + [mm] \bruch{1}{s^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-4s} [/mm] = [mm] F_{0}(s)
[/mm]
Würde das nun so stimmen?
Die Funktion beginnt mit f(t) = 2 und endet bei t = 2, danach f(t) = t und endet bei t = 4. Somit ab t=2 f(t) = -2 und f(t) = - t ab t=4.
Beste Grüße
itse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 27.04.2011 | | Autor: | qsxqsx |
> f(t) = [mm]\bruch{2}{s}[/mm] - [mm]\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{s^2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-4s}[/mm] = [mm]F_{0}(s)[/mm]
>
Du musst dir genau im Klaren sein was du da tust.
1. Summand [mm]\bruch{2}{s}[/mm] - okay
2. Summand - [mm]\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s}[/mm] - okay
... aber der 3. Summand ist + [mm]\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s}[/mm],
da ja f(t) = t für 2<t<4 ist und somit für t = 2 den Wert 2 schon hat.
4. Summand [mm]\bruch{1}{s^2}[/mm][mm] *e^{-2s}
[/mm]
5. Summand - [mm]\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-4s}[/mm] - okay
6. Summand (- [mm] \bruch{4}{s}*e^{-4s} [/mm] )
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mi 27.04.2011 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > f(t) = [mm]\bruch{2}{s}[/mm] - [mm]\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s}[/mm] +
> > [mm]\bruch{1}{s^2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-4s}[/mm] = [mm]F_{0}(s)[/mm]
> >
>
> Du musst dir genau im Klaren sein was du da tust.
Genau das ist mein Problem. Wir hatten den Stoff bisher nicht und somit bin ich mehr oder weniger im Blindflug unterwegs.
Könntest du mir freundlicherweise die Vorgehensweise erklären? Wie kommt man auf sechs Summanden? Also was muss man beachten, um die Funktion entsprechend abzubilden.
Vielen Dank.
itse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mi 27.04.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe es ja schon schritt für schritt hingeschrieben. Alles was du eigentlich für diese Aufgabe wissen musst ist:
Erstens: Die Funktion o(t) (=Sprungfunktion) wird im Laplacebereich [mm] \bruch{1}{s}
[/mm]
Zweistens: Die Funktion t wird im Laplacebereich [mm] \bruch{1}{s^{2}}
[/mm]
Drittens: Die Transformationsregel, dass g(t-a)o(t-a) im Laplacebreich zu [mm] G(s)e^{-s*a} [/mm] wird, wobei o(t) die Sprungfunktion bezeichnet.
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:36 Do 28.04.2011 | | Autor: | itse |
Hallo,
die Lösung sieht ja nun wie folgt aus: [mm] $f_{0}(t) [/mm] = [mm] \bruch{2}{s} [/mm] - [mm] \bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s} +\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s} [/mm] + [mm] \bruch{1}{s^2} \cdot{}e^{-2s} [/mm] - [mm] \bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-4s} [/mm] - [mm] \bruch{4}{s}\cdot{}e^{-4s} [/mm] $
Nun verstehe ich zwei Sachen nicht und zwar:
1. diesen Ausdruck - [mm] \bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s} +\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s}. [/mm] Im Endeffekt fällt dies sowieso raus. Warum wird es dennoch berücksichtigt? Und vor allem an der gleichen Stelle bei t = 2.
2. den Ausdruck - [mm] \bruch{4}{s}\cdot{}e^{-4s}. [/mm] Warum wird -4 an der Stelle t = 4 abgezogen? Ich dachte eher an etwas wie - [mm] \bruch{2}{s}\cdot{}e^{-4s}. [/mm] Die Funktion geht doch maximal vom Funktionswert auf 2.
Bei der folgenden Aufgabe:
$ [mm] f_{0}(t)=\left\{\begin{matrix} t, & \mbox{0 < t < 1} \\ 1, & \mbox{1 < t < 2} \end{matrix}\right. [/mm] $
Sieht die Musterlösung so aus:
$ [mm] f_{1}(t) [/mm] $ = t
$ [mm] \tilde f_{2}(t) [/mm] $ = -t
$ [mm] f_{2}(t) [/mm] $ = $ [mm] \tilde f_{2}(t-1) [/mm] $
$ [mm] \tilde f_{3}(t) [/mm] $ = -1
$ [mm] f_{3}(t) [/mm] $ = $ [mm] \tilde f_{3}(t-2) [/mm] $
$ [mm] f_{0}(t) [/mm] $ = $ [mm] f_{1}(t) [/mm] $ + $ [mm] f_{2}(t) [/mm] $ + $ [mm] f_{3}(t) [/mm] $
$ [mm] f_{1}(t) [/mm] $ = t $ [mm] \multimap \bruch{1}{s^2} [/mm] $
$ [mm] \tilde f_{2}(t) [/mm] $ = -t $ [mm] \multimap -\bruch{1}{s^2} [/mm] $
$ [mm] f_{2}(t) [/mm] $ = $ [mm] \tilde f_{2}(t-1) \multimap -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-s} [/mm] $ // Verschiebungssatz
$ [mm] \tilde f_{3}(t) [/mm] $ = -1 $ [mm] \multimap -\bruch{1}{s} [/mm] $
$ [mm] f_{3}(t) [/mm] $ = $ [mm] \tilde f_{3}(t-2) \multimap -\bruch{1}{s} \cdot{} e^{-2s} [/mm] $ // Verschiebungssatz
$ [mm] f_{0}(t) \multimap \bruch{1}{s^2} -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-s} -\bruch{1}{s} \cdot{} e^{-2s} [/mm] $ = $ [mm] F_{0}(s) [/mm] $
Es wird also zuerst t dazugezählt und anschließend wird abgezogen. Jedoch wird die 1 erst ab der Stelle t = 2 abgezogen. Warum ist dies so? Die 1 ist doch nur im Bereich 0 < t < 1 definiert.
Somit verstehe ich allgemein noch das Prinzip nicht ganz, wie man diese Funktion aus linearen Funktionen zusammensetzen kann. Also was, muss man wo wieder abziehen usw.?
Besten Dank
itse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Do 28.04.2011 | | Autor: | qsxqsx |
> Hallo,
>
> die Lösung sieht ja nun wie folgt aus: [mm]f_{0}(t) = \bruch{2}{s} - \bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s} +\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s} + \bruch{1}{s^2} \cdot{}e^{-2s} - \bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-4s} - \bruch{4}{s}\cdot{}e^{-4s}[/mm]
>
> Nun verstehe ich zwei Sachen nicht und zwar:
>
> 1. diesen Ausdruck - [mm]\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s} +\bruch{2}{s} \cdot{} e^{-2s}.[/mm]
> Im Endeffekt fällt dies sowieso raus.
Ja.
Warum wird es
> dennoch berücksichtigt?
Das waren didaktische Gründe.
Und vor allem an der gleichen
> Stelle bei t = 2.
>
> 2. den Ausdruck - [mm]\bruch{4}{s}\cdot{}e^{-4s}.[/mm] Warum wird -4
> an der Stelle t = 4 abgezogen? Ich dachte eher an etwas wie
> - [mm]\bruch{2}{s}\cdot{}e^{-4s}.[/mm] Die Funktion geht doch
> maximal vom Funktionswert auf 2.
>
>
> Bei der folgenden Aufgabe:
>
> [mm]f_{0}(t)=\left\{\begin{matrix} t, & \mbox{0 < t < 1} \\ 1, & \mbox{1 < t < 2} \end{matrix}\right.[/mm]
>
> Sieht die Musterlösung so aus:
>
> [mm]f_{1}(t)[/mm] = t
>
> [mm]\tilde f_{2}(t)[/mm] = -t
> [mm]f_{2}(t)[/mm] = [mm]\tilde f_{2}(t-1)[/mm]
>
> [mm]\tilde f_{3}(t)[/mm] = -1
> [mm]f_{3}(t)[/mm] = [mm]\tilde f_{3}(t-2)[/mm]
>
> [mm]f_{0}(t)[/mm] = [mm]f_{1}(t)[/mm] + [mm]f_{2}(t)[/mm] + [mm]f_{3}(t)[/mm]
>
> [mm]f_{1}(t)[/mm] = t [mm]\multimap \bruch{1}{s^2}[/mm]
>
> [mm]\tilde f_{2}(t)[/mm] = -t [mm]\multimap -\bruch{1}{s^2}[/mm]
> [mm]f_{2}(t)[/mm] =
> [mm]\tilde f_{2}(t-1) \multimap -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-s}[/mm]
> // Verschiebungssatz
>
> [mm]\tilde f_{3}(t)[/mm] = -1 [mm]\multimap -\bruch{1}{s}[/mm]
> [mm]f_{3}(t)[/mm] =
> [mm]\tilde f_{3}(t-2) \multimap -\bruch{1}{s} \cdot{} e^{-2s}[/mm]
> // Verschiebungssatz
>
> [mm]f_{0}(t) \multimap \bruch{1}{s^2} -\bruch{1}{s^2} \cdot{} e^{-s} -\bruch{1}{s} \cdot{} e^{-2s}[/mm]
> = [mm]F_{0}(s)[/mm]
>
> Es wird also zuerst t dazugezählt und anschließend wird
> abgezogen. Jedoch wird die 1 erst ab der Stelle t = 2
> abgezogen. Warum ist dies so? Die 1 ist doch nur im Bereich
> 0 < t < 1 definiert.
>
> Somit verstehe ich allgemein noch das Prinzip nicht ganz,
> wie man diese Funktion aus linearen Funktionen
> zusammensetzen kann. Also was, muss man wo wieder abziehen
> usw.?
Schau, alles (wirklich alles) was du verstehen musst ist folgendes:
g(t-a)o(t-a) Im Zeitbereich <<<--->>> [mm] G(s)*e^{-s*a} [/mm] im Laplacebereich.
Das heisst doch wenn du mit [mm] e^{-s*a} [/mm] im Laplacebereich multiplizierst, so FÄNGT die Funktion erst dort AN. D.h. [mm] \bruch{1}{s^{2}}*e^{-a*s} [/mm] hat im Zeitbereich an der stelle t = a den Wert 0.
Gruss
|
|
|
|
