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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:55 Di 10.01.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation das Anfangswertproblem [mm] x''+4x'+3x=8u_{2}(t)e^t, [/mm] x(0)=4, x'(0)=2 |
Hi Leute,
also hab bis jetzt folgendes aufgeschrieben:
Wende L-Trafo an:
mit Linearität:
[mm] L[x''](s)+4L[x'](s)+3L[x](s)=8L[u_{2}(t)e^t](s)
[/mm]
mit Ableitungssatz, Verschiebungssatz und L[x](s)=X(s):
[mm] s^2X(s)-sx(0)-x'(0)+4[sX(s)-x(0)]+3X(s)=8e^{-2s}*\bruch{1}{s-1}
[/mm]
Anfangswerte eingesetzt und umgeformt:
[mm] X(s)=\bruch{8e^{-2s}}{(s-1)(s+1)(s+3)}+\bruch{4s+18}{(s+1)(s+3)}
[/mm]
So nun weiß ich nicht weiter wie man das mit der Partialbruchzerlegung macht, bei dem ersten Term, etwa so:
[mm] \bruch{8e^{-2s}}{(s-1)(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s-1}+\bruch{B}{s+1}+\bruch{C}{s+3}
[/mm]
Ich Glaube das stimmt so...
Jetz also umformen und mit Koeffizientenvergleich A,B und C bestimmen:
Gleichungssystem:
1) 0=A+B+C
2) 0=4A+2B
3) [mm] 8e^{-2s}=3A-3B-C
[/mm]
Daraus ergibt sich [mm] A=C=e^{-2s} [/mm] und [mm] B=-2e^{-2s} [/mm]
also:
[mm] \bruch{8e^{-2s}}{(s-1)(s+1)(s+3)}=\bruch{e^{-2s}}{s-1}-\bruch{2e^{-2s}}{s+1}+\bruch{e^{-2s}}{s+3}
[/mm]
Mit PBZ für den zweiten Term ergibt sich:
[mm] \bruch{4s+18}{(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s+1}+\bruch{B}{s+3}
[/mm]
umformen und Koeffizienten bestimmen:
A=7 und B=-3
Also:
[mm] \bruch{4s+18}{(s+1)(s+3)}=\bruch{7}{s+1}-\bruch{3}{s+3}
[/mm]
Alles zusammengefasst:
[mm] X(s)=\bruch{e^{-2s}}{s-1}-\bruch{2e^{-2s}}{s+1}+\bruch{e^{-2s}}{s+3}+\bruch{7}{s+1}-\bruch{3}{s+3}
[/mm]
Also:
[mm] X(s)=L[e^{-2s}*e^t-2e^{-2s}*e^{-t}+e^{-2s}*e^{-3t}+7e^{-t}-3e^{-3t}](s)
[/mm]
Mit dem Satz von Lerch:
[mm] X(t)=e^{-2s}*e^t+e^{-t}(-2e^{-2s}+7)+e^{-3t}(e^{-2s}-3)
[/mm]
Beim Ende bin ich mir nicht sicher...
Kann mir jemand sagen ob meine Lösung stimmt?
Gruß David
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Hallo David90,
> Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation das
> Anfangswertproblem [mm]x''+4x'+3x=8u_{2}(t)e^t,[/mm] x(0)=4,
> x'(0)=2
> Hi Leute,
> also hab bis jetzt folgendes aufgeschrieben:
> Wende L-Trafo an:
> mit Linearität:
> [mm]L[x''](s)+4L[x'](s)+3L[x](s)=8L[u_{2}(t)e^t](s)[/mm]
> mit Ableitungssatz, Verschiebungssatz und L[x](s)=X(s):
>
> [mm]s^2X(s)-sx(0)-x'(0)+4[sX(s)-x(0)]+3X(s)=8e^{-2s}*\bruch{1}{s-1}[/mm]
> Anfangswerte eingesetzt und umgeformt:
>
Falls [mm]u_{2}\left(t\right)[/mm] unbekannt ist, dann
muss auf der rechten Seite der Gleichung stehen: [mm]8*U_{2}\left(s-1\right)[/mm]
> [mm]X(s)=\bruch{8e^{-2s}}{(s-1)(s+1)(s+3)}+\bruch{4s+18}{(s+1)(s+3)}[/mm]
> So nun weiß ich nicht weiter wie man das mit der
> Partialbruchzerlegung macht, bei dem ersten Term, etwa so:
>
> [mm]\bruch{8e^{-2s}}{(s-1)(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s-1}+\bruch{B}{s+1}+\bruch{C}{s+3}[/mm]
> Ich Glaube das stimmt so...
> Jetz also umformen und mit Koeffizientenvergleich A,B und
> C bestimmen:
> Gleichungssystem:
> 1) 0=A+B+C
> 2) 0=4A+2B
> 3) [mm]8e^{-2s}=3A-3B-C[/mm]
>
> Daraus ergibt sich [mm]A=C=e^{-2s}[/mm] und [mm]B=-2e^{-2s}[/mm]
> also:
>
> [mm]\bruch{8e^{-2s}}{(s-1)(s+1)(s+3)}=\bruch{e^{-2s}}{s-1}-\bruch{2e^{-2s}}{s+1}+\bruch{e^{-2s}}{s+3}[/mm]
>
> Mit PBZ für den zweiten Term ergibt sich:
> [mm]\bruch{4s+18}{(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s+1}+\bruch{B}{s+3}[/mm]
> umformen und Koeffizienten bestimmen:
> A=7 und B=-3
> Also:
> [mm]\bruch{4s+18}{(s+1)(s+3)}=\bruch{7}{s+1}-\bruch{3}{s+3}[/mm]
> Alles zusammengefasst:
>
> [mm]X(s)=\bruch{e^{-2s}}{s-1}-\bruch{2e^{-2s}}{s+1}+\bruch{e^{-2s}}{s+3}+\bruch{7}{s+1}-\bruch{3}{s+3}[/mm]
> Also:
>
> [mm]X(s)=L[e^{-2s}*e^t-2e^{-2s}*e^{-t}+e^{-2s}*e^{-3t}+7e^{-t}-3e^{-3t}](s)[/mm]
> Mit dem Satz von Lerch:
> [mm]X(t)=e^{-2s}*e^t+e^{-t}(-2e^{-2s}+7)+e^{-3t}(e^{-2s}-3)[/mm]
> Beim Ende bin ich mir nicht sicher...
> Kann mir jemand sagen ob meine Lösung stimmt?
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Di 10.01.2012 | | Autor: | David90 |
Nee ich denke, dass für [mm] u_{2}(t) [/mm] der Verschiebungssatz gilt (jedenfalls haben wir das so im Tutorium gemacht). Es gilt: [mm] L[u_{\tau}(t)g(t)](s)=e^{-s\tau}L[f(t+\tau)](s)...hab [/mm] ich das richtig gemacht?
Gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 10.01.2012 | | Autor: | David90 |
Seh grad ich hab das nich richtig gemacht :/ wie formt man den [mm] L[e^{t+2}](s) [/mm] um?
Gruß David
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> Seh grad ich hab das nich richtig gemacht :/ wie formt man
> den [mm]L[e^{t+2}](s)[/mm] um?
> Gruß David
[mm] e^{t+2}=e^t*e^2
[/mm]
aber lass uns doch bitte an deinen gedankengängen teilhaben ;)
gruß tee
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Hallo David90,
> Nee ich denke, dass für [mm]u_{2}(t)[/mm] der Verschiebungssatz
> gilt (jedenfalls haben wir das so im Tutorium gemacht). Es
> gilt: [mm]L[u_{\tau}(t)g(t)](s)=e^{-s\tau}L[f(t+\tau)](s)...hab[/mm]
> ich das richtig gemacht?
Nein.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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