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Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Mo 02.01.2012
Autor: David90

Aufgabe
Lösen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation das Anfangswertproblem
[mm] x''+4x'+3x=8e^t, [/mm] x(0)=4, x'(0)=2

Hallo, also ich wollt mal fragen, ob das was ich aufgeschrieben hab, soweit richtig ist:
Laplace-Trafo anwenden:
[mm] L[x''(t)+4x'(t)+3x(t)](s)=8*L[e^t](s) [/mm]
Die rechte Seite umformen:
[mm] 8*L[e^t](s)=\bruch{8}{s-1} [/mm]
Also:
[mm] L[x''(t)+4x'(t)+3x(t)](s)=\bruch{8}{s-1} [/mm] oder?
Gruß David

        
Bezug
Laplace-Transformation: Bis jetzt okay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 Mo 02.01.2012
Autor: Infinit

Hallo David,
für die rechte Seite sieht das gut aus, bei der linken musst Du nun nur wissen, wie sich eine Ableitung im Zeitbereich im Laplacebereich bemerkbar macht. Da gibt es so etwas wie einen Differentiationssatz für die Originalfunktion.
Viele Grüße,
Infinit


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Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Mo 02.01.2012
Autor: David90

Ok also den Ableitungssatz angewendet müsste da stehen:
[mm] s^2*L[x(t)](s)-s*x(0)-x'(0)+4s*L[x(t)](s)-4*x(0)+3L[x(t)](s)=\bruch{8}{s-1} [/mm]
und mit X(s)=L[x(t)](s):
[mm] s^2*X(s)-s*x(0)-x'(0)+4s*X(s)-4*x(0)+3X(s)=\bruch{8}{s-1} [/mm]
Stimmt das soweit?
Gruß David

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Laplace-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Mo 02.01.2012
Autor: MathePower

Hallo David90,

> Ok also den Ableitungssatz angewendet müsste da stehen:
>  
> [mm]s^2*L[x(t)](s)-s*x(0)-x'(0)+4s*L[x(t)](s)-4*x(0)+3L[x(t)](s)=\bruch{8}{s-1}[/mm]
>  und mit X(s)=L[x(t)](s):
>  [mm]s^2*X(s)-s*x(0)-x'(0)+4s*X(s)-4*x(0)+3X(s)=\bruch{8}{s-1}[/mm]
>  Stimmt das soweit?


Ja.


>  Gruß David


Gruss
MathePower

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Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Mo 02.01.2012
Autor: David90

Ok dann werden jetzt die Anfangswerte eingesetzt:
[mm] s^2*X(s)-4s-2+4s*X(s)-16+3*X(s)=\bruch{8}{s-1} [/mm]
Umgeformt:
[mm] X(s)(s^2+4s+3)=\bruch{8}{s-1}+18+4s [/mm]
[mm] \gdw X(s)=\bruch{8}{(s-1)(s^2+4s+3)}+\bruch{4s+18}{s^2+4s+3} [/mm]
So jetzt wird erst einmal eine PBZ für den ersten Term durchgeführt:
[mm] \bruch{8}{(s-1)(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s}-\bruch{B}{s}-\bruch{C}{s} [/mm]
Glaub die PBZ stimmt nicht :/
Gruß David

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Laplace-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Mo 02.01.2012
Autor: MatheStudi7


> Ok dann werden jetzt die Anfangswerte eingesetzt:
>  [mm]s^2*X(s)-4s-2+4s*X(s)-16+3*X(s)=\bruch{8}{s-1}[/mm]
>  Umgeformt:
>  [mm]X(s)(s^2+4s+3)=\bruch{8}{s-1}+18+4s[/mm]
>  [mm]\gdw X(s)=\bruch{8}{(s-1)(s^2+4s+3)}+\bruch{4s+18}{s^2+4s+3}[/mm]
>  
> So jetzt wird erst einmal eine PBZ für den ersten Term
> durchgeführt:
>  
> [mm]\bruch{8}{(s-1)(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s}-\bruch{B}{s}-\bruch{C}{s}[/mm]
>  Glaub die PBZ stimmt nicht :/
>  Gruß David


hallo David,

der Ansatz für deine PBZ müste so aussehen:
[mm] $\bruch{8}{(s-1)(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s-1}-\bruch{B}{s+1}-\bruch{C}{s+3}$ [/mm]

vielleicht kommst du jetzt weiter.



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Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 Mo 02.01.2012
Autor: David90

Ja das hat mir sehr geholfen^^
Also ich hab auf beiden Seiten dann den Nenner der linken Seite mal gerechnet und zusammengefasst und die Koeffizienten verglichen und dann stand da:
1) 0=A-B-C
2) 0=4A-2B
3)8=3A+3B+C
Dann hab ich das Gleichungssystem gelöst und folgenden rausbekommen:
A=1, B=2 und C=-1

So...muss man jetzt für den zweiten Term auch ein PBZ machen? Ich glaube ja, das wär dann:
[mm] \bruch{4s+18}{(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s+1}+\bruch{B}{s+3} [/mm] oder?
Gruß David

Bezug
                                                        
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Laplace-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Mo 02.01.2012
Autor: MathePower

Hallo David90,

> Ja das hat mir sehr geholfen^^
>  Also ich hab auf beiden Seiten dann den Nenner der linken
> Seite mal gerechnet und zusammengefasst und die
> Koeffizienten verglichen und dann stand da:
>  1) 0=A-B-C
>  2) 0=4A-2B
>  3)8=3A+3B+C
>  Dann hab ich das Gleichungssystem gelöst und folgenden
> rausbekommen:
>  A=1, B=2 und C=-1
>


[ok]


> So...muss man jetzt für den zweiten Term auch ein PBZ
> machen? Ich glaube ja, das wär dann:
>  [mm]\bruch{4s+18}{(s+1)(s+3)}=\bruch{A}{s+1}+\bruch{B}{s+3}[/mm]
> oder?


Ja.


>  Gruß David


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
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Laplace-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Mo 02.01.2012
Autor: David90

Ok jetzt hat sich folgendes Gleichungssystem ergeben:
1) 4=A+B
2) 18=3A+B
Und daraus folgt A=7 und B=-3

Alles zusammengefasst:
[mm] X(s)=\bruch{1}{s-1}-\bruch{2}{s+1}+\bruch{1}{s+3}+\bruch{7}{s+1}-\bruch{3}{s+3}=\bruch{1}{s-1}+\bruch{5}{s+1}-\bruch{2}{s+3} [/mm]

Also:
[mm] L[e^t+5e^{-t}-2e^{-3t}](s) [/mm]
Und nach dem Satz von Lerch:
[mm] X(t)=e^t+5e^{-t}-2e^{-3t} [/mm]

Damit müsste die Aufgabe gelöst sein oder? Also wenns richtig ist :D
Gruß David

Bezug
                                                                        
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Laplace-Transformation: Okay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Di 03.01.2012
Autor: Infinit

Hallo David,
das sieht prima aus.
Wenn Du das Ergebnis in die DGL einsetzt, bleibt nur [mm] 8 e^t [/mm] übrig und die Anfangsbedingungen stimmen auch.
Viele Grüße,
Infinit


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