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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Himalia |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe der Definition der Laplace-Transformation die Bildfunktionen der
folgenden Originalfunktionen:
f(t)=sinh(at)
Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Korrespondenztafel. |
Hi,
brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
habe diese Aufgabe schon hier gestellt aber bis jetzt noch keine Antwort erhalten:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=538453
Idee:
[mm] sinh(at)=\frac{e^{at}-e^{-at}}{2} [/mm]
[mm] \int_0^\infty \! f(t)*e^{-st} \, [/mm] dt
[mm] =\int_0^\infty \! sinh(at)*e^{-st} \, [/mm] dt
[mm] =\int_0^\infty \! \frac{e^{at}-e^{-at}}{2} *e^{-st} \, [/mm] dt
[mm] =\frac{1}{2} \int_0^\infty \! (e^{at}-e^{-at}) *e^{-st} \, [/mm] dt
[mm] =\frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at}*e^{-st}-e^{-at} *e^{-st} \, [/mm] dt
= [mm] \frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at}*e^{-st}\, [/mm] dt [mm] -\frac{1}{2} \int_0^\infty \!e^{-at} *e^{-st} \, [/mm] dt
= [mm] \frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at-st}\, [/mm] dt [mm] -\frac{1}{2} \int_0^\infty \!e^{-at-st} \, [/mm] dt
[mm] =\left[\frac{1}{2*(a-s)}*e^{at-st} \right]_0^\infty [/mm] + [mm] \left[-\frac{1}{2*(-a-s)}*e^{-at-st} \right]_0^\infty [/mm]
[mm] =\left[\frac{1}{2*(a-s)}*e^{at-st} \right]_0^\infty [/mm] + [mm] \left[(0)-(-\frac{1}{2*(-a-s)}) \right] [/mm]
Beim linken Teil weiß ich nicht was bei unendlich passiert :(
Da ich nicht weiß ob die Konstante a oder s größer ist.
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> Bestimmen Sie mit Hilfe der Definition der
> Laplace-Transformation die Bildfunktionen der
> folgenden Originalfunktionen:
>
> f(t)=sinh(at)
>
> Vergleichen Sie die Ergebnisse mit der Korrespondenztafel.
> Hi,
> brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
>
> habe diese Aufgabe schon hier gestellt aber bis jetzt noch
> keine Antwort erhalten:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=538453
>
>
> Idee:
>
> [mm]sinh(at)=\frac{e^{at}-e^{-at}}{2}[/mm]
>
> [mm]\int_0^\infty \! f(t)*e^{-st} \,[/mm] dt
>
> [mm]=\int_0^\infty \! sinh(at)*e^{-st} \,[/mm] dt
>
> [mm]=\int_0^\infty \! \frac{e^{at}-e^{-at}}{2} *e^{-st} \,[/mm] dt
>
>
> [mm]=\frac{1}{2} \int_0^\infty \! (e^{at}-e^{-at}) *e^{-st} \,[/mm]
> dt
>
> [mm]=\frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at}*e^{-st}-e^{-at} *e^{-st} \,[/mm]
> dt
>
> = [mm]\frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at}*e^{-st}\,[/mm] dt
> [mm]-\frac{1}{2} \int_0^\infty \!e^{-at} *e^{-st} \,[/mm] dt
>
> = [mm]\frac{1}{2} \int_0^\infty \! e^{at-st}\,[/mm] dt [mm]-\frac{1}{2} \int_0^\infty \!e^{-at-st} \,[/mm]
> dt
>
> [mm]=\left[\frac{1}{2*(a-s)}*e^{at-st} \right]_0^\infty[/mm] +
> [mm]\left[-\frac{1}{2*(-a-s)}*e^{-at-st} \right]_0^\infty[/mm]
>
> [mm]=\left[\frac{1}{2*(a-s)}*e^{at-st} \right]_0^\infty[/mm] +
> [mm]\left[(0)-(-\frac{1}{2*(-a-s)}) \right][/mm]
>
> Beim linken Teil weiß ich nicht was bei unendlich passiert
> :(
> Da ich nicht weiß ob die Konstante a oder s größer
> ist.
>
Es reicht dort zu schreiben, dass die Laplace Trafo nur konvergiert, wenn $s>|a|$ ist.
Andernfalls divergiert diese.
Du hast bisher also alles richtig gemacht.
Bringe nun noch alles auf einen Hauptnenner.
Du solltest dabei die binomischen Formeln beachten. Speziell die dritte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Himalia |
Könnte man das auch so schreiben?
--> s> a >0
Rechnung:
--> für s>|a|
[mm] \left[(0)-(\frac{1}{2*(a-s)}) \right] [/mm] + [mm] \left[(0)-(-\frac{1}{2*(-a-s)}) \right]
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{2*(a-s)}+ \frac{1}{2*(-a-s)}
[/mm]
= [mm] \frac{a}{s^2-a^2}
[/mm]
So ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 So 23.03.2014 | | Autor: | Valerie20 |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber stelle deine Fragen doch in Zukunft auch als Frage... Also benutze den roten Button für Rückfragen.
Ansonsten kann es passieren dass deine Fragen untergehen.
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