Laplace-Glücksrad < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Sa 21.09.2013 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe 1 | | Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 4-mal die "1" und zweimal die "3" angezeigt werden, die beiden Dreien allerdings nicht unmittelbar aufeinander folgen. |
| Aufgabe 2 | | Bestimme, wie oft das Glücksrad gedreht werden muss, damit mit mindestens 99%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die "3" erscheint. |
Huhu,
zu der Aufgabe gehört eigentlich noch die Grafik eines Glücksrads, aber die Beschreibung sollte eigentlich alles benötigte mit sich bringen.
Es ist ein Glücksrad mit 8 gleichgroßen Sektoren. Vier der Sektoren enthalten eine "2", drei eine "1" und einer eine "3".
1) Dieses Rad wird nun sechsmal gedreht.
Mir ist klar, dass es sich dabei um eine Aufgabe aus den absoluten Basics handelt, doch bereitet mir diese Restriktion mit den beiden Dreien Probleme. Ich könnte dazu natürlich einen Baum zeichnen, aber dazu müsste ich in der untersten Ebene 729 Kinder einzeichnen..
Jetzt kann ich ja hingehen, und mir alle möglichen Kombinationen notieren, da komme ich auf zehn Stück:
313111
131311
113131
111313
311311
131131
113113
311131
131113
311113
Berechnet mit [mm] (\bruch{1}{8}*\bruch{1}{8}*\bruch{3}{8}^6)*10 [/mm] komme ich auf eine Wahrscheinlichkeit von 0.3%, was mir aber etwas gering vorkommt.
Ist das korrekt? Gibt es eine einfachere Möglichkeit, als die, die ich da oben angewandt habe?
2) Das müsste doch eigentlich binomialverteilt sein, oder? Treffer [mm] \bruch{1}{8}, [/mm] kein Treffer [mm] \bruch{7}{8}, [/mm] aber dann weiss ich nicht, wie ich die 99% da einbauen kann um n zu bestimmen. Dazu habe ich auch leider noch garkeinen Ansatz.
Grüße,
Ceriana
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Hallo Ceriana,
das geht in der Tat ohne die Grafik. Es genügt die Angabe der Zahlen in den acht Feldern des Glücksrads, deren Reihenfolge hier in der Tat unerheblich ist.
> Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 4-mal die "1"
> und zweimal die "3" angezeigt werden, die beiden Dreien
> allerdings nicht unmittelbar aufeinander folgen.
> Bestimme, wie oft das Glücksrad gedreht werden muss,
> damit mit mindestens 99%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens
> einmal die "3" erscheint.
> Huhu,
>
> zu der Aufgabe gehört eigentlich noch die Grafik eines
> Glücksrads, aber die Beschreibung sollte eigentlich alles
> benötigte mit sich bringen.
>
> Es ist ein Glücksrad mit 8 gleichgroßen Sektoren. Vier
> der Sektoren enthalten eine "2", drei eine "1" und einer
> eine "3".
>
> 1) Dieses Rad wird nun sechsmal gedreht.
>
> Mir ist klar, dass es sich dabei um eine Aufgabe aus den
> absoluten Basics handelt, doch bereitet mir diese
> Restriktion mit den beiden Dreien Probleme. Ich könnte
> dazu natürlich einen Baum zeichnen, aber dazu müsste ich
> in der untersten Ebene 729 Kinder einzeichnen..
>
> Jetzt kann ich ja hingehen, und mir alle möglichen
> Kombinationen notieren, da komme ich auf zehn Stück:
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> 313111
> 131311
> 113131
> 111313
> 311311
> 131131
> 113113
> 311131
> 131113
> 311113
Zehn Möglichkeiten sind richtig. Du kannst sie auch so berechnen: Anzahl der Platzierungen der beiden 3er abzüglich der Möglichkeiten, diese beiden benachbart zu haben, also [mm] \vektor{6\\2}-5=10
[/mm]
> Berechnet mit [mm](\bruch{1}{8}*\bruch{1}{8}*\bruch{3}{8}^6)*10[/mm]
> komme ich auf eine Wahrscheinlichkeit von 0.3%, was mir
> aber etwas gering vorkommt.
Im Gegenteil.  Denk nochmal drüber nach, warum Du da mit 10 multiplizierst. Das ist falsch.
> Ist das korrekt? Gibt es eine einfachere Möglichkeit, als
> die, die ich da oben angewandt habe?
>
> 2) Das müsste doch eigentlich binomialverteilt sein, oder?
> Treffer [mm]\bruch{1}{8},[/mm] kein Treffer [mm]\bruch{7}{8},[/mm] aber dann
> weiss ich nicht, wie ich die 99% da einbauen kann um n zu
> bestimmen. Dazu habe ich auch leider noch garkeinen
> Ansatz.
Der ist hier ganz einfach. Stichwort: Gegenwahrscheinlichkeit
Grüße
reverend
> Grüße,
>
> Ceriana
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Sa 21.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo Ceriana,
>
> das geht in der Tat ohne die Grafik. Es genügt die Angabe
> der Zahlen in den acht Feldern des Glücksrads, deren
> Reihenfolge hier in der Tat unerheblich ist.
>
> > Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 4-mal die "1"
> > und zweimal die "3" angezeigt werden, die beiden Dreien
> > allerdings nicht unmittelbar aufeinander folgen.
> > Bestimme, wie oft das Glücksrad gedreht werden muss,
> > damit mit mindestens 99%-iger Wahrscheinlichkeit
> mindestens
> > einmal die "3" erscheint.
> > Huhu,
> >
> > zu der Aufgabe gehört eigentlich noch die Grafik eines
> > Glücksrads, aber die Beschreibung sollte eigentlich
> alles
> > benötigte mit sich bringen.
> >
> > Es ist ein Glücksrad mit 8 gleichgroßen Sektoren.
> Vier
> > der Sektoren enthalten eine "2", drei eine "1" und
> einer
> > eine "3".
> >
> > 1) Dieses Rad wird nun sechsmal gedreht.
> >
> > Mir ist klar, dass es sich dabei um eine Aufgabe aus
> den
> > absoluten Basics handelt, doch bereitet mir diese
> > Restriktion mit den beiden Dreien Probleme. Ich könnte
> > dazu natürlich einen Baum zeichnen, aber dazu müsste
> ich
> > in der untersten Ebene 729 Kinder einzeichnen..
> >
> > Jetzt kann ich ja hingehen, und mir alle möglichen
> > Kombinationen notieren, da komme ich auf zehn Stück:
> >
> > 313111
> > 131311
> > 113131
> > 111313
> > 311311
> > 131131
> > 113113
> > 311131
> > 131113
> > 311113
>
> Zehn Möglichkeiten sind richtig. Du kannst sie auch so
> berechnen: Anzahl der Platzierungen der beiden 3er
> abzüglich der Möglichkeiten, diese beiden benachbart zu
> haben, also [mm]\vektor{6\\2}-5=10[/mm]
>
> > Berechnet mit
> [mm](\bruch{1}{8}*\bruch{1}{8}*\bruch{3}{8}^6)*10[/mm]
> > komme ich auf eine Wahrscheinlichkeit von 0.3%, was mir
> > aber etwas gering vorkommt.
>
> Im Gegenteil. Denk nochmal drüber nach, warum Du da
> mit 10 multiplizierst. Das ist falsch.
Das ist richtig!
Falsch ist etwas anderes. Die Zahl 1 wird viermal (nicht sechsmal) erdreht. Außerdem gehört der Bruch 3/8 in Klammern.
Gruß Abakus
>
> > Ist das korrekt? Gibt es eine einfachere Möglichkeit, als
> > die, die ich da oben angewandt habe?
> >
> > 2) Das müsste doch eigentlich binomialverteilt sein,
> oder?
> > Treffer [mm]\bruch{1}{8},[/mm] kein Treffer [mm]\bruch{7}{8},[/mm] aber
> dann
> > weiss ich nicht, wie ich die 99% da einbauen kann um n
> zu
> > bestimmen. Dazu habe ich auch leider noch garkeinen
> > Ansatz.
>
> Der ist hier ganz einfach. Stichwort:
> Gegenwahrscheinlichkeit
>
> Grüße
> reverend
>
> > Grüße,
> >
> > Ceriana
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 21.09.2013 | | Autor: | Ceriana |
Huch, bei dem [mm] \bruch{3}{8} [/mm] habe ich hier die falsche Potenz hingeschrieben, das ist eigentlich hoch 4. Aber naja, ich multipliziere ja mit 10, weil es doch 10 verschiedene Wege durch den Baum gibt, die die Bedingung erfüllen, für die die Wahrscheinlichkeit auch immer gleich bleibt?
Bei der zweiten Aufgabe: Naja, dann muss ich halt n berechnen für 1%, dass keine "3" kommt. Aber wie man n nur aus den gegebenen Umständen berechnen kann, ist mir schleierhaft, die Gegenwahrscheinlichkeit dreht das Problem ja nur um.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Sa 21.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Huch, bei dem [mm]\bruch{3}{8}[/mm] habe ich hier die falsche Potenz
> hingeschrieben, das ist eigentlich hoch 4. Aber naja, ich
> multipliziere ja mit 10, weil es doch 10 verschiedene Wege
> durch den Baum gibt, die die Bedingung erfüllen, für die
> die Wahrscheinlichkeit auch immer gleich bleibt?
>
> Bei der zweiten Aufgabe: Naja, dann muss ich halt n
> berechnen für 1%, dass keine "3" kommt. Aber wie man n nur
> aus den gegebenen Umständen berechnen kann, ist mir
> schleierhaft, die Gegenwahrscheinlichkeit dreht das Problem
> ja nur um.
Hallo,
die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal hintereinander keine 3 kommt, beträgt [mm](\frac78)^2[/mm] (und ist größer als 0,01).
Die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal hintereinander keine 3 kommt, beträgt [mm](\frac78)^3[/mm] (und ist schon etwas kleiner, aber immer noch größer als 0,01).
Die Wahrscheinlichkeit, dass viermal hintereinander keine 3 kommt, beträgt [mm](\frac78)^4[/mm] (und ist schon wieder etwas kleiner, aber immer noch größer als 0,01).
Klingelts langsam?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 21.09.2013 | | Autor: | Ceriana |
35?
Ich hab einfach sooft [mm] \bruch{7}{8} [/mm] potenziert, bis das Ergebnis < 0,01 war, was dann bei [mm] \bruch{7}{8}^{35} [/mm] der Fall war. Wenn Exponenten gesucht sind, kommt mir da der Logarithmus in den Sinn, aber wie macht man sowas denn bei "<", wir mussten bisher eigentlich nur Logarithmen zu fest definierten Werten bestimmen, also [mm] \bruch{7}{8}^{n}=10 [/mm] oder sowas..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Sa 21.09.2013 | | Autor: | abakus |
> 35?
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> Ich hab einfach sooft [mm]\bruch{7}{8}[/mm] potenziert, bis das
> Ergebnis < 0,01 war, was dann bei [mm]\bruch{7}{8}^{35}[/mm] der
> Fall war. Wenn Exponenten gesucht sind, kommt mir da der
> Logarithmus in den Sinn, aber wie macht man sowas denn bei
> "<", wir mussten bisher eigentlich nur Logarithmen zu fest
> definierten Werten bestimmen, also [mm]\bruch{7}{8}^{n}=10[/mm] oder
> sowas..
Du kannst durchaus statt mit der Ungleichung mit der Gleichung rechnen.
Hier wäre es also die Lösung von [mm](\bruch{7}{8})^{n}=0.01[/mm] (du hast grade wieder eine Klammer vergessen), dabei erhält man rund 34,48. Jetzt fehlt nur noch die Entscheidung zum Ab- oder Aufrunden.
Da [mm](\bruch{7}{8})^{34}[/mm] noch zu groß ist, aber [mm](\bruch{7}{8})^{35}<0,01[/mm] gilt, ist n=35 die erste natürliche Zahl, die deine Ungleichung erfüllt.
Man kann auch so argumentieren, dass die Funktion [mm]f(x)=(\bruch{7}{8})^{x}[/mm] monoton fallend ist. Wenn man da bei 34,48 den Wert 0,01 erhält, so ist erst bei natürlichen Zahlen größer als 34,48 der Wert kleiner als 0,01.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Sa 21.09.2013 | | Autor: | Ceriana |
Super, damit wäre das jetzt auch abgehakt :>
Ich habe nicht wenige von solchen Aufgaben vor mir, wo ebenfalls ein n gesucht wird, darauf lässt sich das Prinzip ja dann auch anwenden.
Danke euch beiden :)
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