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| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{x^2-x+1}{\wurzel{(x^2+1)^3}}dx} [/mm] |
Hallo!
Ich bin noch auf dieses Integral gestoßen, das ich nur teilweise Lösen kann.Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben. Würde mich freuen! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Meine Idee:
Aufspalten:
[mm] \integral{\bruch{x^2}{\wurzel{(x^2+1)^3}}dx}-\integral{\bruch{x}{\wurzel{(x^2+1)^3}}dx}+\integral{\bruch{dx}{\wurzel{(x^2+1)^3}}}
[/mm]
1. Integral:
[mm] v'=\bruch{x}{\wurzel{(x^2+1)^3} } v=-\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
u=x u'=1
[mm] \integral{\bruch{x^2}{\wurzel{(x^2+1)^3}}dx}=-\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}-\integral{\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}}dx}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}}dx}
[/mm]
[mm] \wurzel{x^2+1}=z-x
[/mm]
[mm] \wurzel{x^2+1}+x=z
[/mm]
[mm] z'=\bruch{x+\wurzel{x^2+1}}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{z-x}{z}
[/mm]
stf.=ln|z|+C
Resubst.
[mm] -\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}-ln|\wurzel{x^2+1}+x|+c
[/mm]
2.Integral
Irgendwie kann man sowas ja schon fast als Grundintegral betrachten, man kann aber auch subst.
[mm] \integral{\bruch{x}{\wurzel{(x^2+1)^3}}dx}
[/mm]
[mm] z=x^2+1
[/mm]
z'=2x
[mm] dx=\bruch{dz}{2x}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{du}{\wurzel{u^3}}}
[/mm]
Stf.
[mm] -\bruch{1}{\wurzel{u}}
[/mm]
Also [mm] -\bruch{1}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
Beim 3. Integral habe ich meine Schwierigkeiten....![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Umgeformt:
[mm] \integral{\bruch{(x^2+1)^3}{\wurzel{(x^2+1)^3}}dx}
[/mm]
So könnte ich zumindest aufspalten, aber was das bringt weiß ich selbst nicht genau. Vielleicht ja jemand von euch?
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Di 08.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angelika!
> [mm]\integral{\bruch{x^2-x+1}{\wurzel{(x^2+1)^3}}dx}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich bin noch auf dieses Integral gestoßen, das ich nur
> teilweise Lösen kann.Könnte mir bitte jemand einen Tipp
> geben. Würde mich freuen!
>
>
> Meine Idee:
>
> Aufspalten:
>
> [mm]\integral{\bruch{x^2}{\wurzel{(x^2+1)^3}}dx}-\integral{\bruch{x}{\wurzel{(x^2+1)^3}}dx}+\integral{\bruch{dx}{\wurzel{(x^2+1)^3}}}[/mm]
Tipp: fasse das erste und das dritte Integral zusammen:
[mm]\integral{\bruch{x^2}{\wurzel{(x^2+1)^3}}dx} + \integral{\bruch{dx}{\wurzel{(x^2+1)^3}}} = \integral{\bruch{x^2+1}{\wurzel{(x^2+1)^3}}dx} = \integral{\bruch{dx}{\wurzel{(x^2+1)}}} =\mathop{\mathrm{Arsinh}} x[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Danke Rainer!
War gar nicht so langwierig, nach deiner Tipp.
Gruß
Angelika
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