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Forum "Uni-Analysis" - Langrange Multiplikatorregel
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Langrange Multiplikatorregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Fr 18.11.2005
Autor: stevarino

Hallo

Wie funktioniert das mit dieser Regel?

[mm] z=x^{2}-y^2 [/mm]
[mm] x^{2}+y^2\le1 [/mm]

ges: Extremstellen und Extremwerte
[mm] z_{x}=2x [/mm]
[mm] z_{xx}=2 [/mm]

[mm] z_{y}=-2y [/mm]
[mm] z_{yy}=-2 [/mm]

[mm] z_{xy}=0 [/mm]

jetzt nehm ich die Bedingung für innere Extremstellen
[mm] z_{xx}*z_{yy}-z_{xy}^{2}> [/mm] = oder < 0
[mm] 2*-2-0^{2}=-4 [/mm] daraus folgt keine inneren Extremstellen

jetzt muss ich den Rand untersuchen
mit der Langrange Multiplikatorregel
[mm] z=x^{2}-y^2=f [/mm]
[mm] x^{2}+y^2-1=g [/mm]

grad f(a)+ [mm] \lambda [/mm] grad g(a)=0
[mm] \vektor{2x \\ -2y}+\lambda*\vektor{2x \\ 2y}=0 [/mm]
[mm] x^{2}+y^2-1=0 [/mm]

jetzt muss ich doch ein [mm] \lambda [/mm] suchen das dieses Gleichungssystem erfüllt

[mm] 2x+\lambda*2x=0 [/mm]
[mm] -2y+\lambda*2y=0 [/mm]
[mm] x^{2}+y^2-1=0 [/mm]

jetzt ziehe ich die 2te Gleichung von der 1sten ab
[mm] 2*(x+y)+\lambda*2*(x-y)=0 [/mm] jetzt steh ich schon an es gibt kein [mm] \lambda [/mm] das diese Gleichung 0 wird???

kann mir das jemand verständlich machen???

Danke Stevo

        
Bezug
Langrange Multiplikatorregel: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Fr 18.11.2005
Autor: MathePower

Hallo stevarino,

> Hallo
>  
> Wie funktioniert das mit dieser Regel?
>  
> [mm]z=x^{2}-y^2[/mm]
>  [mm]x^{2}+y^2\le1[/mm]
>  
> ges: Extremstellen und Extremwerte
>  [mm]z_{x}=2x[/mm]
>  [mm]z_{xx}=2[/mm]
>  
> [mm]z_{y}=-2y[/mm]
>  [mm]z_{yy}=-2[/mm]
>  
> [mm]z_{xy}=0[/mm]
>  
> jetzt nehm ich die Bedingung für innere Extremstellen
>  [mm]z_{xx}*z_{yy}-z_{xy}^{2}>[/mm] = oder < 0
>  [mm]2*-2-0^{2}=-4[/mm] daraus folgt keine inneren Extremstellen
>  
> jetzt muss ich den Rand untersuchen
> mit der Langrange Multiplikatorregel
>  [mm]z=x^{2}-y^2=f[/mm]
>  [mm]x^{2}+y^2-1=g[/mm]
>  
> grad f(a)+ [mm]\lambda[/mm] grad g(a)=0
>  [mm]\vektor{2x \\ -2y}+\lambda*\vektor{2x \\ 2y}=0[/mm]
>  
> [mm]x^{2}+y^2-1=0[/mm]
>  
> jetzt muss ich doch ein [mm]\lambda[/mm] suchen das dieses
> Gleichungssystem erfüllt
>  
> [mm]2x+\lambda*2x=0[/mm]
>  [mm]-2y+\lambda*2y=0[/mm]
>  [mm]x^{2}+y^2-1=0[/mm]
>  
> jetzt ziehe ich die 2te Gleichung von der 1sten ab
>  [mm]2*(x+y)+\lambda*2*(x-y)=0[/mm] jetzt steh ich schon an es gibt
> kein [mm]\lambda[/mm] das diese Gleichung 0 wird???

Betrachte die Gleichungen mal für sich:

Aus Gleichung (1) folgt:

[mm]x\;=\;0\;\vee\;\lambda\;=\;-1[/mm]

Jetzt musst Du eine Fallunterscheidung machen

i) x=0
  Dann folgt aus Gleichung (3) [mm]y\;=\;???[/mm]
  Damit folgt aus Gleichung (2) [mm]\lambda\;=\;???[/mm]

ii) [mm]\lambda\;=\;-1[/mm]

Ähnliches Vorgehen wie bei i)

Dann mußt Du die Art der Extrema (falls welche vorliegen) bestimmen.

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Langrange Multiplikatorregel: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 10:58 Sa 19.11.2005
Autor: stevarino

Hallo

Muß das  [mm] \lambda [/mm] nicht  alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen also bei einem  [mm] \lambda [/mm] ist die 1 und die 2 Gleichung 0?
Jetzt hab ich ja ein  [mm] \lambda [/mm] gesucht das entweder die 1 oder die 2 Gleichung   erfüllt.

Woher weiß ich welchen Punkt ich mit  [mm] z_{xx} [/mm] und welcher mit  [mm] z_{yy} [/mm] auf ein Max od Min teste?

Danke Stevo

Bezug
                        
Bezug
Langrange Multiplikatorregel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:01 Mo 21.11.2005
Autor: matux

Hallo Stevo!


Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.

Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück [kleeblatt] .

Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent

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