Lane-Emden-Gleichung f. n=3... < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Lösung der Lane-Emden-Gleichung für n=3;n=1.5 |
<tasIch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestelltk>Lösung der Lane-Emdengleichung (numerisch für n=3,bzw. n=1,5) für die Polytropen mit MuPad
folgendes liefert zwar ein Ergebnis zu einem Wert,
f := (x, Y) -> [Y[2],-2/x*Y[2]-(Y[1])^(3)]:
numeric::odesolve(0.00001..6.896847, f, [1, 0])
aber für eine Wertetabelle, bzw. eine Funktionsgrafen langt das nicht.
Für Unterrichtszwecke benötige ich aber einen Funktionsverlauf, bzw eine Wertetabelle.
mit folgender Programmierung bekomme ich nut untaugliche Ergebnisse:
for i from 0.00001 to 7 step 0.1 do;x:=i;
f := (x, Y) -> [mm] [Y[2],-2/x*Y[2]-(Y[1]^3)];numeric::odesolve(f, [/mm] x..7, [1, 0]);print( i, x, f, Y[1],Y[2]);end_for:
0.00001, 0.00001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.10001, 0.10001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.20001, 0.20001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.30001, 0.30001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.40001, 0.40001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.50001, 0.50001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.60001, 0.60001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.70001, 0.70001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.80001, 0.80001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.90001, 0.90001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
1.00001, 1.00001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
kann mir hier jemand weiterhelfen?
LG Wolfgang </task>
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Hallo wstnachhilfe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösung der Lane-Emden-Gleichung für n=3;n=1.5
>
> <tasIch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestelltk>Lösung der Lane-Emdengleichung
> (numerisch für n=3,bzw. n=1,5) für die Polytropen mit
> MuPad
> folgendes liefert zwar ein Ergebnis zu einem Wert,
>
> f := (x, Y) -> [Y[2],-2/x*Y[2]-(Y[1])^(3)]:
>
> numeric::odesolve(0.00001..6.896847, f, [1, 0])
>
> aber für eine Wertetabelle, bzw. eine Funktionsgrafen
> langt das nicht.
>
> Für Unterrichtszwecke benötige ich aber einen
> Funktionsverlauf, bzw eine Wertetabelle.
> mit folgender Programmierung bekomme ich nut untaugliche
> Ergebnisse:
> for i from 0.00001 to 7 step 0.1 do;x:=i;
> f := (x, Y) ->
> [mm][Y[2],-2/x*Y[2]-(Y[1]^3)];numeric::odesolve(f,[/mm] x..7, [1,
> 0]);print( i, x, f, Y[1],Y[2]);end_for:
> 0.00001, 0.00001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) -
> [mm]Y[1]^3],[/mm] Y[1], Y[2]
> 0.10001, 0.10001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) -
> [mm]Y[1]^3],[/mm] Y[1], Y[2]
> 0.20001, 0.20001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) -
> [mm]Y[1]^3],[/mm] Y[1], Y[2]
> 0.30001, 0.30001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) -
> [mm]Y[1]^3],[/mm] Y[1], Y[2]
> 0.40001, 0.40001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) -
> [mm]Y[1]^3],[/mm] Y[1], Y[2]
> 0.50001, 0.50001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) -
> [mm]Y[1]^3],[/mm] Y[1], Y[2]
> 0.60001, 0.60001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) -
> [mm]Y[1]^3],[/mm] Y[1], Y[2]
> 0.70001, 0.70001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) -
> [mm]Y[1]^3],[/mm] Y[1], Y[2]
> 0.80001, 0.80001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) -
> [mm]Y[1]^3],[/mm] Y[1], Y[2]
> 0.90001, 0.90001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) -
> [mm]Y[1]^3],[/mm] Y[1], Y[2]
> 1.00001, 1.00001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) -
> [mm]Y[1]^3],[/mm] Y[1], Y[2]
>
> kann mir hier jemand weiterhelfen?
Du kannst die Lösung [mm]\theta\left(\xi\right)[/mm]
in eine Taylorreihe um den Anfangspunkt entwickeln.
Dazu nimmst Du die Lane-Emden-Gleichung,
ermittelst daraus [mm]\theta''\left(\xi_{0}\right)[/mm]
Dann differenzierst Du nochmals die die Lane-Emden-Gleichung,
um [mm]\theta^{\left(3\right)}\left(\xi_{0}\right)[/mm] zu erhalten.
Das Spiel kannst Du wiederholen, bis zu dem gewünschten Grad
des Näherungspolynoms.
> LG Wolfgang
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | Lösung der Lane-Emden Gleichung mit Mupad für n= 3 z.B. |
Wie kann ich das angesprochen Problem : Lösung der Lane-Emden Differentialgleichung mit Mupad lösen?
Mir ist die Sache mit der Entwicklung in eine Taylorreihe vollkommem bewust, nur suche ich nach einer Prozedur (oder Programmierrung) in Mupad das mir in einer vernünftigen Zeit Ergebnisse liefert.
Bei der Berechnung habe ich zunächst versucht mit einer bekannten Lösung zu testen. Nachden das i.O. war wollte ich mit einer For-Schleife einen Funktionsverlau programmieren. Danei mache ich irgendetwas falsch.
Das ist mein eigentlichen Problem.
Mit dieser Procedur habe ich getestet:
f := (x, Y) -> [Y[2],-2/x*Y[2]-(Y[1])^(3)]:
>
> numeric::odesolve(0.00001..6.896847, f, [1, 0])
und ein vernünftige Ergebnis erhalten.
Anschließend habe ich versucht einen Funktionsverlauf zu programmieren:
for i from 0.00001 to 7 step 0.1 do;x:=i;
> f := (x, Y) ->
>for i from 0.00001 to 7 step 0.1 do;x:=i;
f := (x, Y) -> [mm] [Y[2],-2/x*Y[2]-(Y[1]^3)];numeric::odesolve(f, [/mm] x..7, [1, 0]);print( i, x, f, Y[1],Y[2]);end_for:
hiermit erhalte ich leider kein vernünftiges Ergebnis:
0.00001, 0.00001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.10001, 0.10001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.20001, 0.20001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.30001, 0.30001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.40001, 0.40001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
0.50001, 0.50001, (x, Y) -> [Y[2], (- (2/x)*Y[2]) - [mm] Y[1]^3], [/mm] Y[1], Y[2]
Wenn es möglich ist - bitte ein guter Tip
LG Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Mi 17.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Lösung der Lane-Emden-Gleichung für n=3;n=1.5
> f := (x, Y) -> [Y[2],-2/x*Y[2]-(Y[1])^(3)]:
Hallo Wolfgang,
könntest du mal die Differentialgleichung in üblicher,
allgemeinverständlicher Notation angeben ?
Ist eine reelle Funktion einer Variablen gesucht ?
Anfangsbedingungen ?
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Sa 13.08.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn ich richtig nachgelesen habe lautet die Dgl.
[mm] F''(x)+\bruch{2}{x}F'(x)+\left[F(x)\right]^n=0
[/mm]
mit den Anfangsbedingungen
F(0)=1 und F'(0)=0
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Hallo, das ist genau so!
die Differentialgleichung : [mm] y''+2/x*y'+y^n [/mm] = 0 oder [mm] 1/x^2*d/dx(x^2*dy/dx)+y^n [/mm] =0
Für verschiedene n = {0, 1, 5} ist eine analytische Lösung möglich.
Da ich im Unterricht zeigen will, wie auch numerische Lösungen, z.B. n=3,
die bei der theoretischen Beschreibung der inneren Zustände in selbstgrav itierenden Gaskugeln, die im wesentlichen polytroper Natur sind. Folgt aus der Masse/Dichte-Beziehung die Lane-Emden-Gleichung.
Da ich zeigen will, wie men solche Differentialgleichungen numerisch behandeln kann, wollte ich das mit Mupad lösen. Ich bin aber nicht so gut im Programmieren.
Habe das auch mit Basic als Runge-Kutta-Procedur versucht, war aber mit den Ergebnissen nicht zufrieden.
LG Wolfgang
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> Hi,
>
> wenn ich richtig nachgelesen habe lautet die Dgl.
>
> [mm]F''(x)+\bruch{2}{x}F'(x)+\left[F(x)\right]^n=0[/mm]
>
> mit den Anfangsbedingungen
>
> F(0)=1 und F'(0)=0
Ich habe auch gesucht und bin auf dasselbe gestoßen.
Nur sehe ich jetzt ein Problem: Die Anfangsbedingungen
besagen offenbar, dass man an der Stelle x=0 beginnen
soll. Genau an dieser Stelle x=0 ist aber die Gleichung
gar nicht definiert (wegen des Nenners x). Auch nach
Multiplikation mit x verweigert aber z.B. NDSolve in
Mathematica die Lösung des Anfangswertproblems.
Es scheint also zumindest, dass da noch gewisse Limes-
Überlegungen erforderlich wären.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Sa 13.08.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich habe das mal mit Mathcad gelöst indem ich die die Anfangsbedingung von 0 ein wenig nach rechts verlegt habe auf [mm] \epsilon=10^{-10}
[/mm]
Damit ergeben sich dann folgende Lösungsgraphen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die siehen aus wie in Wikipedia beschrieben.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Lieber Ullium,
vielen Dank für Deine Antwort - nun muß ich nur noch wissen wie ich an Matcad kommen - möglichst billig
Danke nochmal.
Noch eine Ergänzung:
Ich habe die die Aufgabe auch als System 2er Diff.-Gleichungen 1. Ordnung in WinFunktion Version 19 gelöst; nur die Berechnung dauert trotz eine relativ starken Rechner inakzeptabel lange - mehrere Stunden.
LG wstnachhilfe (Wolfgang)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 So 14.08.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
es gibt Studentenversionen für ca. 100 €, z.B. bem Academic Center
https://www.academic-center.de/cgi-bin/home
Es gibt auc h Demo Versionen mit 30 Tage Lizenzen. das würde Dich vielleicht auch helfen.
Die Berechnung dauert nicht sehr lange, ein paar Sekunden. Du kannst auch Matlab nehmen, da weiss ich aber die Preise icht.
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> Hi,
>
> ich habe das mal mit Mathcad gelöst indem ich die die
> Anfangsbedingung von 0 ein wenig nach rechts verlegt habe
> auf [mm]\epsilon=10^{-10}[/mm]
Hallo ullim,
das hatte ich auch gemacht - aber 100% wohl ist mir eben
doch noch nicht bei einem "Anfangswertproblem", dessen
DGL ausgerechnet im angeblichen Anfangspunkt schon gar
nicht anwendbar ist !
LG Al
> Damit ergeben sich dann folgende Lösungsgraphen
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Die sehen aus wie in Wikipedia beschrieben.
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| Aufgabe | | Lane-Emden in Mathcad |
Hallo,
ich habe mir inzwischen MathCAD heruntergeladen und mich schon ein bischen damit beschäftigt.
Ich traue mich schon kaum zu fragen :
Wie geht der in MathCAD einzugebende Eingabecode um zu den o.g. Ergebnissen zu kommen.
Sorry, aber wenns einmal geht, kann ich dann beliebig modifizieren; für andere Aufgaben. Ich kann mich aber z.Z. nicht durch die zahlreichen Handbücher und Tutorials lesen.
Wenns keine Zumutung ist, bitte ich um den Quellcode.
Vielen Dank im Voraus!
LG wstnachhilfe (Wolfgang)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mo 15.08.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
hier einmal ein Screenshot vom Code, dann musst Du ihn aber selber eingeben und dich ein bisschen in Mathcad einarbeiten und der Code ist in xml. Ich habe Mathcad Version 14.0 M020.
Manchmal klappt das mit dem xml File nicht, habe ich schon mehrmals erlebt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Lane-Emden-Gleichung
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: xmcd) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: xmcd) [nicht öffentlich]
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![[a]](uploads/forum/00815951/forum-i00815951-n001.png "Dateianhänge"){kind=small}
Lane-Emden-Gleichung