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| Aufgabe | Es geht mir um Ungleichungen folgender Art.
(i) [mm] o(e^x)=e^{o(x)}
[/mm]
(ii) [mm] O(x^{3/2})\subset o(x)\subset O(x^{1/2}) [/mm] |
Ich möchte sie entweder beweisen oder wiederlegen. Ich kenne auch die Def. des Landau Symbols und ein paar Eigenschaften, nur wie gehe ich Beispiele obiger Art an, bzw. wie kann ich Gegenbeispiele finden?
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Omikron123 |
Hat jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Sa 20.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es geht mir um Ungleichungen folgender Art.
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> (i) [mm]o(e^x)=e^{o(x)}[/mm]
> (ii) [mm]O(x^{3/2})\subset o(x)\subset O(x^{1/2})[/mm]
>
> Ich möchte
> sie entweder beweisen oder wiederlegen. Ich kenne auch die
> Def. des Landau Symbols und ein paar Eigenschaften, nur wie
> gehe ich Beispiele obiger Art an, bzw. wie kann ich
> Gegenbeispiele finden?
Das sind alles Gleichungen bzw. Teilmengenbeziehungen zwischen Mengen. Fuer $A = B$ musst du $A [mm] \subseteq [/mm] B$ und $B [mm] \subseteq [/mm] A$ zeigen. Insofern hast du hier einen Haufen Teilmengebeziehungen 
Fuer [mm] $o(e^x) \subseteq e^{o(x)}$ [/mm] musst du fuer eine Funktion $f [mm] \in o(e^x)$ [/mm] zeigen, dass $f [mm] \in e^{o(x)}$ [/mm] gilt. Jetzt brauchst du die Definitionen von [mm] $o(e^x)$ [/mm] und $o(x)$ (woraus du die fuer [mm] $e^{o(x)}$ [/mm] bekommst).
Oder bei [mm] $O(x^{3/2}) \subset [/mm] o(x)$ nimmst du eine Funktion $f [mm] \in O(x^{3/2})$ [/mm] und zeigst, dass $f [mm] \in [/mm] o(x)$ gilt. (Allerdings gilt das gar nicht. Meinst du vielleicht [mm] $O(x^{2/3})$? [/mm] Ausserdem: ist [mm] $\subset$ [/mm] bei euch "echte Teilmenge", so musst du noch zeigen dass es ein Element in $o(x)$ gibt, was nicht in der ersten Menge liegt.)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Omikron123,
Es ist [mm] $e^{o(x)}=\left\{ e^{f(x)}\colon \frac {f(x)} x \to 0\right\}\;,$ $o\left(e^x\right)=\left\{f(x)\colon \frac {f(x)} {e^x} \to 0\right\}$
[/mm]
[mm] $e^{o(x)} \subseteq o\left(e^x\right)$ [/mm] bedeutet:
Aus [mm] $\lim \frac [/mm] {f(x)} x = 0$ folgt [mm] $\lim \frac {e^{f(x)}} {e^x} [/mm] = 0$. (Die Grenzübergänge sind stets für [mm] $x\to\infty$ [/mm] zu verstehen.)
Hierzu schließt man am besten rückwärts:
[mm] $\frac {e^{f(x)}} {e^x}=e^{f(x)-x}\to [/mm] 0$
[mm] $\Leftarrow f(x)-x=x*\left(\frac {f(x)} x - 1\right)\to -\infty$ [/mm]
[mm] $\Leftarrow \frac [/mm] {f(x)} x [mm] \to [/mm] 0$
Die andere Richtung stimmt nicht. So ist [mm] $f(x)=\sqrt [/mm] {e^ x}$ in [mm] $o\left(e^x\right)$ [/mm] aber nicht in [mm] $e\e^{o(x)}\;.$
[/mm]
Ich halte übrigens die Landausymbolik für wenig hilfreich!
Grüße,
Wolfgang
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Ich habe vergessen es zu erwähnen, ich betrachte x->0, nicht [mm] x->\infty
[/mm]
Ihc versuche nun das 1. lösen (2. habe ich bereits).
[mm] f(x)=o(e^x) [/mm] falls [mm] lim\bruch{f(x)}{e^x}=0 [/mm] für x->0
[mm] e^{f(x)}=e^{o(x)} [/mm] falls [mm] lim\bruch{f(x)}{x}=0
[/mm]
z.z: [mm] lim\bruch{f(x)}{x}=0 [/mm] <=> [mm] lim\bruch{e^{f(x)}}{e^x}=0
[/mm]
Frage: Wieso steht rechts [mm] lim\bruch{e^{f(x)}}{e^x} [/mm] und nicht [mm] lim\bruch{f(x)}{e^x}
[/mm]
2.Frage: Wie kann ich nun am besten fortfahren um ein Gegenbeispiel zu finden, bzw es zu beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 So 21.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo omikron123,
> [mm]f(x)=o(e^x)[/mm] falls [mm]lim\bruch{f(x)}{e^x}=0[/mm] für x->0
>
> [mm]e^{f(x)}=e^{o(x)}[/mm] falls [mm]lim\bruch{f(x)}{x}=0[/mm]
>
> z.z: [mm]lim\bruch{f(x)}{x}=0[/mm] <=> [mm]lim\bruch{e^{f(x)}}{e^x}=0[/mm]
>
> Frage: Wieso steht rechts [mm]lim\bruch{e^{f(x)}}{e^x}[/mm] und
> nicht [mm]lim\bruch{f(x)}{e^x}[/mm]
Ja, das stimmt so auch nicht!
Es ist nämlich [mm] $f\in e^{o(x)}$ [/mm] genau dann, wenn es ein $g [mm] \in [/mm] o(x)$ gibt, mit
$f(x) = [mm] e^{g(x)}$. [/mm] Und das bedeutet [mm] $\ln [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] o(x)$.
Um [mm] $o(e^x) \subseteq e^{o(x)}$ [/mm] zu zeigen, mußt Du also
[mm] $\lim \frac [/mm] {f(x)} [mm] {e^x}=0 \Rightarrow \lim \frac {\ln f(x)} [/mm] x = 0$
zeigen. Hierfür gibt es aber ein Gegenbeispiel. Beachte, daß [mm] $\lim e^x [/mm] = [mm] e^0 [/mm] = 1$. Damit liegt jedes $f$ mit [mm] $\lim_{x\to 0} [/mm] f(x) = 0$ in [mm] $o(e^x)$, [/mm] z. B. die Nullfunktion. Diese liegt aber nicht in [mm] $e^{o(x)}$, [/mm] da [mm] $e^y [/mm] > 0$ für alle [mm] $y\in \IR$.
[/mm]
Gruß Wolfgang
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Vielen Dank für deine Hilfe, ich habe noch 2 Probleme:
1: Fallen dir adhoc zwei Funktionen f,g ein mit [mm] f\in [/mm] o(x) aber f nicht in [mm] O(x^{3/2}) [/mm] und [mm] g\in O(x^{1/2}) [/mm] aber g nicht in o(x) ?
2: [mm] \bruch{x^3}{sin(x)+O(x)}\subset [/mm] o(1)
Ich habe die li Seite umgeschrieben zu: [mm] \bruch{x^3}{sin(x)+O(x)}=\bruch{x^3}{x-\bruch{x^3}{6}+\bruch{x^5}{120}+O(x^7)+O(x)}, [/mm] aber wie kann ich nun mit Hilfe der O-Notation den Nenner einfach hinschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo omikron123,
> Vielen Dank für deine Hilfe, ich habe noch 2 Probleme:
>
> 1: Fallen dir adhoc zwei Funktionen f,g ein mit [mm]f\in[/mm] o(x)
> aber f nicht in [mm]O(x^{3/2})[/mm] und [mm]g\in O(x^{1/2})[/mm] aber g nicht
> in o(x) ?
Ja. [mm] $f(x)=x^r$ [/mm] für jedes [mm] $r\in(1; [/mm] 3/2)$ und [mm] $g(x)=x^{1/2}$.
[/mm]
>
> 2: [mm]\bruch{x^3}{sin(x)+O(x)}\subset[/mm] o(1)
>
> Ich habe die li Seite umgeschrieben zu:
> [mm]\bruch{x^3}{sin(x)+O(x)}=\bruch{x^3}{x-\bruch{x^3}{6}+\bruch{x^5}{120}+O(x^7)+O(x)},[/mm]
> aber wie kann ich nun mit Hilfe der O-Notation den Nenner
> einfach hinschreiben?
Für diese Aussage liefert [mm] $x\mapsto -x\in [/mm] O(x)$ ein Gegenbeispiel.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 So 21.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo, ich hätte eine Frage dazu.
DU hast geschrieben die Nullfunktion wäre solch ein Gegenbeispiel.
> $ [mm] \lim \frac [/mm] {f(x)} [mm] {e^x}=0 \Rightarrow \lim \frac {\ln f(x)} [/mm] x = 0 $
Nun ist klar dass die Nullfunktion [mm] \in o(e^x)
[/mm]
Aber umzu überprüfen ob die Nullfunktion [mm] \in O(e^x) [/mm] ist müsste ich doch ln(0) ausrechnen, was nicht defeniert ist?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 So 21.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo, ich hätte eine Frage dazu.
> DU hast geschrieben die Nullfunktion wäre solch ein
> Gegenbeispiel.
>
> > [mm]\lim \frac {f(x)} {e^x}=0 \Rightarrow \lim \frac {\ln f(x)} x = 0[/mm]
>
> Nun ist klar dass die Nullfunktion [mm]\in o(e^x)[/mm]
> Aber umzu
> überprüfen ob die Nullfunktion [mm]\in O(e^x)[/mm] ist müsste
> ich doch ln(0) ausrechnen, was nicht defeniert ist?
Richtig! [mm] $\ln [/mm] 0$ ist nicht definiert. Und das zeigt, daß die Nullfunktion nicht in [mm] $e^{o(x)}$ [/mm] liegen kann. Diese Menge enthält nur Funktionen $f$ mit $f(x) > 0$ für alle $x$.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 21.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke verstehe und:
Gilt $ [mm] o(e^x) \supseteq e^{o(x)} [/mm] $ ?
Oder sollte man sich da auch auf gegenbeispiel-suche machen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 So 21.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Danke verstehe und:
>
> Gilt [mm]o(e^x) \supseteq e^{o(x)}[/mm] ?
>
> Oder sollte man sich da auch auf gegenbeispiel-suche
> machen?
Gegenbeispiel! Beachte [mm] $\frac {e^{f(x)}} {e^x} \to [/mm] 0 [mm] \gdw e^{f(x) - x} \to [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] f(x)-x [mm] \to -\infty$. [/mm] Und jetzt suche ein [mm] $f\in [/mm] o(x)$ mit $f(x)- [mm] x\to 0.\;$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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