Lagrangesche Multiplik. Regel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gesucht ist derjenige Punkt der Ebene 2x-3y-4z=25, der dem Punkt (3,2,1) am nächsten liegt. Formulieren Sie die Lagrangesche Multiplikatorenregel für diese Aufgabe. |
Da der Punkt, der Gesucht wird, auf der Ebene liegen soll, habe ich mir gedacht, dass die Nebenbedingung die Ebenengleichung ist.
Also NB: 2x-3y-4z-25=0
Das Problem ist, dass ich einfach nicht auf die Hauptfunktion komme. Ich habe mir dabei gedacht, dass es ja auf Jeden Fall ein Betrag eines Vektors sein muss, der vom Punkt ausgeht und an der Ebene aufhört und ein Minimum besitzen muss.
Stimmt dieser Ansatz?
Und wie komme ich auf die Funktion???
Vielen Dank im Vorraus
irgentwie muss ich wohl des noch dazuschreiben: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Sa 11.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Gesucht ist derjenige Punkt der Ebene 2x-3y-4z=25, der dem
> Punkt (3,2,1) am nächsten liegt. Formulieren Sie die
Hallo,
die Verbindung zum nächstliegenden Punkt der Ebene ist eine Strecke, die senkrecht auf der Ebene steht.
Der Normalenvektor einer Ebene steht auch senkrecht auf "seiner" Ebene.
Wenn du also durch den gegebenen Punkt eine Gerade legst, die als Richtungsvektor gerade den Normalenvektor [mm] \vektor{2\\ -3\\-4} [/mm] hat, dann durchstößt diese Gerade die Ebene senkrecht.
Ermittle also diesen Durchstoßpunkt.
(Mit dieser Lagrange-Regel kann ich leider nicht helfen.)
Gruß Abakus
> Lagrangesche Multiplikatorenregel für diese Aufgabe.
> Da der Punkt, der Gesucht wird, auf der Ebene liegen soll,
> habe ich mir gedacht, dass die Nebenbedingung die
> Ebenengleichung ist.
> Also NB: 2x-3y-4z-25=0
>
> Das Problem ist, dass ich einfach nicht auf die
> Hauptfunktion komme. Ich habe mir dabei gedacht, dass es ja
> auf Jeden Fall ein Betrag eines Vektors sein muss, der vom
> Punkt ausgeht und an der Ebene aufhört und ein Minimum
> besitzen muss.
> Stimmt dieser Ansatz?
> Und wie komme ich auf die Funktion???
>
> Vielen Dank im Vorraus
>
> irgentwie muss ich wohl des noch dazuschreiben: Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Integrator |
Danke für die schnelle Antwort.
Habe dieses Verfahren schon vorher versucht um zu prüfen, ob ich mit der Lagrangeschen Multiplikatorenregel richtig liege, allerdings kam ich da eben nicht weiter. (Punkt: (5,-1,-3))
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Hallo Integrator,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gesucht ist derjenige Punkt der Ebene 2x-3y-4z=25, der dem
> Punkt (3,2,1) am nächsten liegt. Formulieren Sie die
> Lagrangesche Multiplikatorenregel für diese Aufgabe.
> Da der Punkt, der Gesucht wird, auf der Ebene liegen soll,
> habe ich mir gedacht, dass die Nebenbedingung die
> Ebenengleichung ist.
> Also NB: 2x-3y-4z-25=0
>
> Das Problem ist, dass ich einfach nicht auf die
> Hauptfunktion komme. Ich habe mir dabei gedacht, dass es ja
> auf Jeden Fall ein Betrag eines Vektors sein muss, der vom
> Punkt ausgeht und an der Ebene aufhört und ein Minimum
> besitzen muss.
> Stimmt dieser Ansatz?
Ja.
> Und wie komme ich auf die Funktion???
Die Hauptfunktion ist der
Abstand des Punktes (3,2,1) von einem Punkt (x,y,z).
>
> Vielen Dank im Vorraus
>
> irgentwie muss ich wohl des noch dazuschreiben: Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
Gruss
MathePower
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Also [mm] $((3-x)^2+(2-y)^2+(1-z)^2)^{0,5}$ [/mm] ????
Bem: Text editiert von schachuzipus
Bitte Exponenten mit dem Dach ^ machen und in geschweifte Klammern setzen.
Gruß
schachuzipus
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Hallo Integrator,
> Also [mm]((3-x)^2+(2-y)^2+(1-z)^2)^{0,5}[/mm] ????
>
>
Ja, geschickterweise betrachtet man [mm](3-x)^2+(2-y)^2+(1-z)^{2}[/mm].
>
> Bem: Text editiert von schachuzipus
>
> Bitte Exponenten mit dem Dach ^ machen und in
> geschweifte Klammern setzen.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Gruß
MathePower
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Achso, okay! Vielen Dank!
Wenn die Funktion jetzt z.B. z=x²+y² wäre, bei dem Punkt (1,1,1/2), dann wäre die hauptfunktion demnach auch
(1-x²)²+(1-y²)²+(1/2-z) oder?
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Hallo Integrator,
> Achso, okay! Vielen Dank!
>
> Wenn die Funktion jetzt z.B. z=x²+y² wäre, bei dem Punkt
> (1,1,1/2), dann wäre die hauptfunktion demnach auch
> (1-x²)²+(1-y²)²+(1/2-z) oder?
Nein, hier betrachtest Du den Abstand des
Punktes [mm]\left( \ x,y,z\left(x,y\right) \ \right)[/mm] vom Punkt [mm]\left(1,1,\bruch{1}{2}\right)[/mm].
Daher lautet die Hauptfunktion:
[mm]\left(x-1\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}+\left(z\left(x,y\right)-\bruch{1}{2}\right)^{2}[/mm]
Gruß
MathePower
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